请k神plapla高考题一：钱塘省函数题

力工

已知$1<a\leqslant 2$,函数$f(x)=e^x-x-a$,其中$e=2.71828\cdots $是自然对数的底。
(1)证明：$f(x)$在$(0,+\infty )$上只有唯一零点；
(2)记$f(x)$在$(0,+\infty )$上的唯一零点为$x_0$，
(i)证明：$\sqrt{a-1}\leqslant x_0\leqslant \sqrt{2(a-1)}$；
(ii)证明：$x_0f(x_0)\geqslant (e-1)(a-1)a$.
大家觉得这题有什么背景？

isee

回复 1# 力工


    钱塘省是哪儿？

facebooker

浙江不是敏感词汇吧。

isee

回复 3# facebooker


原来这是2020年浙江卷高考数学第22题。

（1）没啥说的，要么零点定理，要么分参后函数单调，一直交点惟一。

isee

回复 4# isee

这个（2）的（i)，最初的想法是全部化为$x_0$，最后发现确定$x_0$的范围是随$a$的变化而变化的，并不好“说”理。

先看左端不等式。

既然函数$f(x)$在给定的范围内是单调的，那尝试证明$$e^\sqrt{a-1}-\sqrt{a-1}-a=f\left(\sqrt{a-1}\right)\leqslant 0=f(x_0),$$
这样的想法也是常见的，个人猜测可能，至少至此，没啥特别的背景。


以上是总方向，另一方面


\begin{align*}
\sqrt{a-1}&\leqslant x_0\\[1ex]
\iff e^x_0-x_0-1&\leqslant x_0^2\\[1ex]
\iff e^{-x_0}(x_0^2+x_0+1)&\geqslant 1
\end{align*}
这个新函数$g(x)=e^x-x^2-x-1$的两种形式应该是跑不掉的，具体怎么联系起来，还在思考中。

有了，刚才统一成$x_0$时，求过导，知道$g(x)=e^{-x}(x^2+x+1),0<x<1$是单调递增的，
而$\sqrt{a-1}\in (0,1]$，所以$$g\left(\sqrt{a-1}\right)>g(0)\iff e^\sqrt{a-1}-(a-1)-\sqrt{a-1}-1<0.$$

而左边即$$f\left(\sqrt{a-1}\right)<0=f(x_0).$$

至于，左端的等号，个人iC还没明白($\sqrt{a-1}=x_0$?)……

不过，闪了，先

isee

最后一问不会，帖上标答

isee

最后一问不会，帖上标答