关于2014辽宁高考理数21题（2）的疑问！

yumath

答案感觉实在神奇，没看懂...= =，我还是按照自己的想法做的，用mathematic画图，目测是对的...= =，结果求导没搞出来
这个问题，我的想法是拆成两个函数
拆成：3 x Cos[x] - 4 Log[(3 \[Pi] - 2 x)/\[Pi]] Sin[x]和-3 \[Pi] Cos[x] - 4 Log[(3 \[Pi] - 2 x)/\[Pi]]
图像是

结果第一个函数导数搞不出来额= =...如果搞出来，那么均单调交点唯一，可以证明的

后面那个问题，我想法利用f(x)单调递减，就是证明f(x0)>f(pi-x1)，也就是0>f(pi-x1)，结果画图，是不成立，这是什么情况请教一下

请教一下！谢谢！

yumath

已知函数
\[
\begin{aligned}
& f(x)=(\cos x-x)(\pi+2 x)-\frac{8}{3}(\sin x+1) \\
& g(x)=3(x-\pi) \cos x-4(1+\sin x) \ln \left(3-\frac{2 x}{\pi}\right)
\end{aligned}
\]
证明：
（I）存在唯一 $x_0 \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，使 $f\left(x_0\right)=0$；
（ II ）存在唯一 $x_1 \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，使 $g\left(x_1\right)=0$，且对（ I ）中的 $x_0$，有 $x_0+x_1<\pi$．

其妙

回复 2# yumath
yuzi老师？

yumath

什么？= =...

yumath

实在无法理解答案...除以$(1+\sin x)$，求导正好有$f(x)$，奇葩...
希望有正常的想法

yumath

这个是否可以利用不等式解决？我尝试，但没成功...

其妙

回复 6# yumath
怎么只发题呀？把答案也发出来吧，这样别人就可以为你解答了

yumath

什么意思？是我的解答？我没有成功...只有标答了

其妙

什么意思？是我的解答？我没有成功...只有标答了
yumath 发表于 2014-6-15 18:30

就是说你把标答发出来，别人好参考，好为你解决问题

转化与化归

标答供大家研究。 回复 9# 其妙

yumath

回复 10# 转化与化归

这个标答我感觉很不自然，明显是出题人能够轻松想到= =...
解题者考场上想不到啊= =

yumath

希望有人可以给出自然的方法解决，我尝试上面的解法，一部分没有成功啊！

LLLYSL

这道题今天我刚做了，和你的思路差不多。做的过程中确实遇到了一些问题。我先说说自己对这道题的一些看法，首先是这道题目第二问从结构上来看，和以前有几年的高考题很像，10天津，11辽宁，13湖南。之前这三道题的做法都是一个模子出来的，我称之为利用函数的不对称性来做。说直白点就是函数沿着极值点所在的这条轴线，将左边图像对称到右边，这时候在右边会产生一个原图像和对称图像一个完全在另一个的上方。但是这个题目这样做就有点失效，原因我准备研究一下。再说说这个标准答案，确实是比较巧妙。非要说理由，我觉得主要得考虑到求导运算的一些技巧。答案构造的函数相当于将$1+\sin x$给踢出去，这样做的好处在于求导过程中$\ln$函数会彻底消失，这样对于我们讨论后面的问题会有帮助。因为众所周知，只要非幂函数，多少来说对我们讨论问题都会有难度上的加大。而三角函数求导之后一般是无法消去，除非比较特殊。因此答案做的构造也算是有点蛛丝马迹在里面。不过确实没法想到求导后会出现fx，这个应该是出题人在解决一些科研问题遇到的中间过程吧。下来准备继续品味一下这个题目，其实可以对比一下这个题目和我上面说的三个题目的区别，就可能能找到一些启发。

不对称性

yumath

回复 13# LLLYSL
其实，那个小于pi的问题，我想的不多，因为我感觉这个问题不关键
下面是我分解的两个函数

yumath

1. {
2.     3 x Cos[x] - 4 Log[(3 Pi - 2 x)/Pi] Sin[x],
3.     -3 Pi Cos[x] - 4 Log[(3 Pi - 2 x)/Pi]
4. }

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yumath

现在纠结于是否可以证明出第一个函数是单调的...我考虑放缩

yumath

回复 13# LLLYSL
我看到前辈您是博士，那您应该知道很多吧。我就是个高中生...看这个题实在看得太少，深感自己会的工具太少，解题无力。
对于标答的手段，看了之后，我确实能够理解这么做的缘由，使得求导简化。但是，我自己做的时候，确实没有想到。我只是按照常规处理想法，考虑交点...
希望您能够指出这个题的背景，最好有不同于标答的，自然解答，谢谢~

LLLYSL

嗯，虽然我在读博，但是学的不是数学，数学只是我的一个爱好。我本科阶段花了很多功夫研究高等数学，很多初等数学水平还是停留在高中阶段，我们之间在这上面没太多差别。我这几天有考试，暂时暂停一下，考完了我好好利用现在的一些工具来探究这道题目。

yumath

回复 18# LLLYSL


    好的，谢谢！

chen、bin

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