2010全国大纲卷Ⅱ的第22题 导数题

走走看看

第二小题，网上公布的资料，分a<0、0≤a≤1/2、a>1/2。
想把a分离出来，按这种方式做出的答案不对。
是不是不可以分离出来呢？不能分离的原因是什么？
如果必须进行分类讨论，那如何确定分界点是1/2而不是1呢？
1看起来更好看啊。

请赐教！

色k

分界点是1/2是因为由泰勒展开得 $(ax+1)(1-e^{-x})=x+(a-1/2)x^2+o(x^2)$

色k

至于分离，首先，如果说分离做出的答案不对，这一定是你做的过程出了差错，因为一种方法如果可行，就会做对，如果不可行的，就做不出任何结果，而不会做出错误的答案。

事实上，这题分离是可行的，简略过程为先排除 $a<0$，当 $a\ge0$ 时变形为
\[a\le\frac1{1-e^{-x}}-\frac1x=g(x),\]
通过证明 $e^x+e^{-x}\ge x^2+2$ 可得 $g(x)$ 递增，最后求极限得 $x\to0$ 时 $g(x)\to1/2$，就完结了。

走走看看

请问g（x）在0处的极限怎么求？我原以为是0。

kuing

回复 4# 走走看看

通分后洛必达两次即可。
或者用泰勒也行。

走走看看

非常好！
谢谢两位！

色k

写一下泰勒的：
\[\frac1{1-e^{-x}}-\frac1x
=\frac1{x-\frac{x^2}2+o(x^2)}-\frac1x
=\frac{x^2+o(x^2)}{2x^2-x^3+xo(x^2)}
=\frac{1+\frac{o(x^2)}{x^2}}{2-x+\frac{o(x^2)}x},\]
所以
\[\lim_{x\to0}\frac1{1-e^{-x}}-\frac1x=\frac12.\]

其妙

非常好！
谢谢两位！
走走看看 发表于 2017-4-27 21:34

色k牛！
kuing牛！

参考答案：

走走看看

楼上所给的答案是标准答案，很规范。不过在实际答题时很难想到。

找到了几个按通性通法给出的答案，供需要者参考。


wenku.baidu.com/view/457ee0b1f46527d3250ce052.html
wenku.baidu.com/view/470b292758fb770bf78a554c.html

第一个链接中的（2）2-1/a≤0，只能得出 0<a≤12 ，忘了讨论a=0的情况。
第二个链接中的 “ (2) 1'当a>0时，易知f(x)≥0（x≥0）恒成立”笔误，应是a<0。

走走看看

还有第三个链接：
wenku.baidu.com/view/3e8e2211783e0912a3162a19.html

奇怪了，以前曾搜索过，这些链接都没有。

今天早上做这道曾做过的题，还是在（2）上遇到了问题，不可思议。

敬畏数学

此题有人拿满分，有点汗颜啊！

力工

回复 11# 敬畏数学
扑通(budong)大侠说的意思

走走看看

第一道题有不少人采用分析与综合相结合的办法。

刚才，我用g(x)=f(x)(x+1)-x，很快得证。
又换了一种方法，直接用f(x)-x/(x+1)≥0却证不出来，真出鬼！

isee

回复 13# 走走看看


    很正常，导数不好处理时，就需要不停的改造题目。