2021年浙江高考导数题

chaijining

题：设$a$，$b$为实数，且$a>1$，函数\(f\left( x \right)=a^x-bx+\mathrm e^2(x\in \mathrm R)\)
（1）求函数$f\left( x \right)$的单调区间；
（2）若对任意\(b>2\mathrm e^2\)，函数$f\left( x \right)$有两个不同的零点，求$a$的取值范围；
（3）当\(a=\mathrm e\)时，证明：对任意\(b>\mathrm e^4\)，函数$f\left( x \right)$有两个不同的零点$x_1,x_2$，满足\(x_2>\frac{b\ln b}{2\mathrm e^2}x_1+\frac{\mathrm  e^2}b\).
(注：\(\mathrm e=2.71828\cdot \cdots\)是自然对数的底数)

realnumber

碰巧看到,转发一个
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lemondian

回复 1# chaijining
一个QQ群里发的这个，不知是不是

realnumber

回复 3# lemondian

同事王国勇老师做的简捷的办法，没看出有错，是不是数据太大，程序实数运算近似出错了？
2021浙江高考数学压轴题：这次水太深．
已知函数 $f(x)=e^x-b x+e^2\left(b \geq e^4\right)$ 有两个不相等的零点 $x_1, x_2$，
且 $x_1<x_2$．求证：$x_2>\frac{b \ln b}{2 e^2} x_1+\frac{e^2}{b}$ ．
证明：$\because f(x)=e^x-b x+e^2 . \quad \therefore f^{\prime}(x)=e^x-b$．
$\therefore$ 当 $x \geq \ln b$ 时，$f^{\prime}(x) \geq 0$ ；当 $x \leq \ln b$ 时，$f'(x) \leq 0$．
$\therefore f(x)$ 在 $(-\infty, \ln b]$ 上递减，在 $[\ln b,+\infty)$ 上递增．
$\because f(2)=2 e^2-2 b<0, f(\ln b+1)=b(e-\ln b)+\left(e^2-b\right)<0$，
且 $x_1, x_2$ 是 $f(x)=e^x-b x+e^2\left(b \geq e^4\right)$ 的两个零点，
$\therefore x_1<2, \quad x_2>\ln b+1$（到这里为止，其实并不难，深水在下面）
$\therefore x_2>\ln b+1>\frac{\ln b}{2 e^2}\left(e^{x_1}+e^2\right)+1=\frac{b \ln b}{2 e^2} x_1+1>\frac{b \ln b}{2 e^2} x_1+\frac{e^2}{b}$.

敬畏数学

奇葩的想法！聪明反被聪明误。怀疑一切。

joatbmon

题目不等式右边有个分母2的,一开始流传出来的回忆版本分母没有2,错题指的是这个错,少了分母2的错

isee

这题真是“难看”，看着就想让人放弃的那种

哎~~~~~~~是高考题，必须啃，伤心~~~，Mark 先

kuing

回复 2# realnumber

第一个链接中：

这根本不是自然对数的底数啊……

realnumber

回复 8# kuing


    你不说的话,都没发现