2020年全国卷3理科第21题 三次函数的零点范围

isee

2020年全国卷3理科第21题

设函数$f(x)=x^3+bx+c$，曲线$y=f(x)$在$x=\frac 12$处的切线与$y$轴垂直．
（1）求$b$．
（2）若$f(x)$有一个绝对值不大于$1$的零点，证明：$f(x)$所有零点的绝对值都不大于1．

isee

送一不等式选讲

isee

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在人教群初见到此题还以为是文科的题，因为毕竟是三次函数嘛，我们对其图象还是很清晰的。


解

（1）$b=-3/4$，过程略。

（2）直接令$$f(x)=x^3-\frac 34x+c=0\Rightarrow c=-x^3+\frac 34x,$$

数形结合，分情形讨论$c$与$\pm\frac 14$的大小关系即知命题成立

kuing

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那晚深夜我在群里写的：

`f(x)=x^3-\frac34x+c`
`f(x_0)=0`, `|x_0|\leqslant1`
令 `x_0=\cos\theta`
`f(\cos\theta)=\frac14\cos(3\theta)+c=0`
则 `f\bigl(\cos(120^\circ-\theta)\bigr)=f\bigl(\cos(120^\circ+\theta)\bigr)=0`

重根的细节问题不知怎么说清楚

三倍角公式，或者更一般地说切比雪夫多项式，算是这道题的背景……

lemondian

请教各位，不知这种证法是否可以？
1.如果$f(x)$只一个零点，那么结论自然成立。
2.如果$f(x)$有至少两个零点，设$f(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$，其中$|x_1|\leqslant 1$，对比系数，则有
         $x_1+x_2+x_3=0$,(1)
$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-\frac{3}{4}$,(2)
由(1)，得$x_1+x_3=-x_2$，代入（2），得$-\frac{3}{4}=x_2(x_1+x_3)+x_1x_3=x_1x_3-x_2^2\leqslant (\dfrac{x_1+x_3}{2})^2-x_2^2=-\frac{3}{4}x_2^2$,
从而$x_2^2\leqslant 1$,于是$|x_2|\leqslant 1$.
同理可得$|x_3|\leqslant 1$.
所以，结论得证。

lemondian

这样证行吗？
如果可行，难道考了个“假”导数题？

走走看看

5楼的方法，比较自然。

6楼的方法，也没有发现问题。

本题的切线用到了函数求导，所以，用了你的方法，也不是完全没有用导数。