三次函数有内接矩形的条件

hbghlyj

三次函数$y=x^3-ax(a\inR)$有内接矩形的条件？

即：当$x\in(0,\infty)$时，$(x,x^3-ax)$到$(0,0)$的距离不是$x$的单调函数。

hbghlyj

$x^2+(x^3-ax)^2$在$x\in(0,\infty)$上不单调，即它的导数在$x\in(0,\infty)$上有零点：
Solve[D[x^2+(x^3-ax)^2,x]==0,a]
\[
\begin{aligned}
& a=2 x^2+\sqrt{x^4-1},x\ge0 \implies a\ge2\\
& a=2x^2-\sqrt{x^4-1},x\ge0 \implies a\ge\sqrt3
\end{aligned}
\]
所以$a\ge\sqrt3$

hbghlyj

wolframalpha.com/input?i=curvature+y%3Dx%5E3-Sqrt%5B3%5Dx+at+x%3DSqrt%5B2%5D%2F3%5E%281%2F4%29
当$a=\sqrt3$时，$(x,y)=(\frac{\sqrt2}{\sqrt[4]3},-\frac{\sqrt{2}}{3^{3 / 4}})$处的曲率中心是$(0,0)$