直线与三次函数相交于不同三点$A$，$B$，$C$，且$AB=AC$

isee

直线与三次函数相交于不同三点$A$，$B$，$C$，且$\abs{AB}=\abs{AC}$，则点$A$为其对称中心.

isee

想了下，设三次函数$y=ax^3+bx(a\ne 0)$似乎利用直线的参数方程比较明快：直线设过$A$点参数方程.

kuing

将三次函数与直线函数作差后，问题等价于：
三次函数 `f(x)` 有三个零点 `x_1`, `x_2`, `x_3`, `x_1<x_2<x_3` 且满足 `x_2-x_1=x_3-x_2`，求证：对任意实数 `x` 恒有 `f(x_2+x)+f(x_2-x)=0`。

证明：依题意可设 `f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)`，则
\[
f(x_2+x)+f(x_2-x)=ax(x+x_2-x_1)(x+x_2-x_3)-ax(x-x_2+x_1)(x-x_2+x_3)=2ax^2(2x_2-x_1-x_3)=0,
\]
即得证。

realnumber

过A作x,y,轴的平行线（如果A本来就在x，y轴上，那就更好）
那么在新的直角坐标系下，这个三次函数是$y=ax^3+bx^2+cx$,直线是y=kx,设其交点横坐标为$x_1,0,x_2$因为AB=AC,则$x_1+x_2=0$得b=0
此时三次函数为奇函数，即A为其对称中心.

isee

kuing 发表于 2018-4-24 15:04
将三次函数与直线函数作差后，问题等价于：
三次函数 `f(x)` 有三个零点 `x_1`, `x_2`, `x_3`, `x_1<x_2<x_ ...

realnumber 发表于 2018-4-24 15:19
过A作x,y,轴的平行线（如果A本来就在x，y轴上，那就更好）
那么在新的直角坐标系下，这个三次函数是$y=ax^3 ...

明白了，学习了，感谢二位。
我一直用“解方程”的方式，即点在三次函数上来处理 两线段长，陷入繁复计算。
原来直接用 直线与曲线相交 的弦长公式即可。

kuing 书写有个小误吧，`f(x)`应是作差后的新三次函数。

realnumber 站在学生角度来看，很直观易懂。

zhcosin

就以点$A$为原点，以直线所在直线为横轴建立坐标系，这三次曲线的方程不应该是$y=ax(x-b)(x+b)$吗? 证毕。

唔，这做法有问题，三次曲线在任意建系后的方程还是 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ 吗？似乎需要推演一下，不过这里懒了，根据坐标变换公式（见 forum.php?mod=viewthread&tid=5291 的14，15楼），任意建系后的方程，取$p=rx+sy+t,q=ux+vy+w$，则方程是$v=au^3+bu+cu+d$这种情形的，目测有坑，避之。。。

不过嘛，思路还是有可取之处的，首先三次函数1减去一次函数仍然是三次函数2吧，那么通过原点并且另外两个根关于原点对称的三次函数关于原点中心对称这点不难证明吧，那就是说前面这个三次函数2是关于点$A$中心对称的没错吧(平移一下啦)，那么一次函数显然也是关于点$A$中心对称的，所以作为一次函数与三次函数2之和的三次函数1也关于A中心对称，好理解吧?

isee

回复 6# zhcosin

游客

\begin{aligned}
& f(x)=a x^3+b x^2+c x+d . \\
& \Rightarrow f\left(x+x_2\right)=a\left(x+x_2\right)^3+b\left(x+x_2\right)^2+c\left(x+x_2\right)+d . \\
& =a x^3+\left(3 a x_2+b\right) x^2+\left(c+3 a x_2^2+2 b x_2\right) x+\left(a x_2^3+b x_2^2+c x_2+d\right) \\
& =a x^3+\left(c+3 a x_2^2+2 b x_2\right) x+f\left(x_2\right) . \\
& \Rightarrow g(x)=f\left(x+x_2\right)-f\left(x_2\right)=a x^3+\left(c+3 a x_2^2+2 b x_2\right) x \text { 是奇函数. }\\
&\text {（其中：} x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}=3 x_2 \Rightarrow 3 a x_2+b=0 \text { ．）}
\end{aligned}

isee

回复 8# 游客


`g(x)`最后是不要说 3#的`f(x_2+x)+f(x_2-x)=0` 成立？

游客

回复 9# isee


    不用，就是函数图象的平移变换。

isee

回复 10# 游客


哦，明白了，`(x_2,f(x_2))`就是对称中心了。

实际上`3ax_2+b=0`已经完成了证明。

hbghlyj

相关帖子：DE=EF，三次函数（为什么E点一定是原点）