三次方程虚根的几何解释

hbghlyj

Geometric interpretation of imaginary roots of cubic equation
Wikipedia
三次函数的两个虚根为 $g ± hi(g,h\in\Bbb R,h>0)$. R 为三次函数图象与 x 轴的唯一交点.
过 R 作三次函数图象的切线, 切点为 H. RA 的斜率是 RH 的两倍.
则 g = M的横坐标 (图中是负的) 且 $h = \sqrt{\tan ORH} = \sqrt{RH的斜率} = BE = DA$.

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-1-26 13:01
g = M的横坐标 (图中是负的)

这可以用kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=12249 来证明：因为三次函数和任意直线的三个交点的横坐标之和都相等，所以三次函数和x轴的三个交点的横坐标之和等于三次函数和直线RH的三个交点的横坐标之和。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-1-26 13:01
且 $h = \sqrt{\tan ORH} = \sqrt{RH的斜率} = BE = DA$.

怎么证明呢？