轨迹问题

hjfmhh

kuing

求轨迹方程的话用基本方法就行了，设 $\vv{OA}=(x_a,y_a)$, $\vv{OB}=(x_b,y_b)$, `P(X,Y)`，则
\[\led
X&=xx_a+yx_b,\\
Y&=xy_a+yy_b,
\endled\]解得
\[\led
x&=\frac {y_bX-x_bY}{x_ay_b-x_by_a},\\
y&=\frac {-y_aX+x_aY}{x_ay_b-x_by_a}.
\endled\]于是：问题1的轨迹就是
\[\frac {(y_bX-x_bY)(-y_aX+x_aY)}{(x_ay_b-x_by_a)^2}=m,\]以及
\[\frac {y_bX-x_bY}{-y_aX+x_aY}=m;\]其余的类似。

kuing

不过像这种问题显然了解其几何直观更有意义。

当 $\vv{OA}$, $\vv{OB}$ 都是单位向量时，对于问题1，比如 $xy=10$，图形变换如下图所示：

可见曲线类型是不变的，渐近线也是清楚的。

hjfmhh

回复 3# kuing

合理建系求轨迹是不是曲线轨迹方程会简洁明了点

譬如说问题1：以角AOB的角平分线为x轴

zhcosin

以 $\vv{OA}$，$\vv{OB}$ 为基建立斜坐标系，那么你的轨迹就在这斜坐标下就分别是 $xy=m$，$x^2=4y$，$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.
所以的问题就是，斜坐标下的上述方程所表示的曲线，究竟是个什么曲线，是否是双曲线、抛物线、椭圆？
由于我们只熟悉那些曲线在直角坐标系下的方程，所以我们需要建立斜坐标与直角坐标之间的关系，以便把上述方程所表示的曲线都重新用直角坐标系表际出来，我们考虑更一般化的情况，设平面上有两组基向量： $\bm{i}$ 和 $\bm{j}$，$\bm{\alpha}$与$\bm{\beta}$，并且前一基在后一组基下的坐标是
\[
\begin{cases}
\bm{i}=r_1\bm{\alpha}+s_1\bm{\beta} \\
\bm{j}=r_2\bm{\alpha}+s_2\bm{\beta}
\end{cases}
\]
如果平面上某点 $P$ 在基 $\bm{i},\bm{j}$下的坐标是 $(x,y)$，在基 $\bm{\alpha},\bm{\beta}$下的坐标是 $(x',y')$，那么有
\[ \vv{OP}=x\bm{i}+y\bm{j}=x(r_1\bm{\alpha}+s_1\bm{\beta})+y(r_2\bm{\alpha}+s_2\bm{\beta}) = (xr_1+yr_2)\bm{\alpha}+(xs_1+ys_2)\bm{\beta} \]
即
\[
\begin{cases}
x'=xr_1+yr_2 \\
y'=xs_1+ys_2
\end{cases}
\]
它更容易识别的方式是写成矩阵形式
\[
(x',y')=(x,y)
\begin{pmatrix}
r_1 & s_1 \\
r_2 & s_2
\end{pmatrix}
\]
这就是点 $P$ 由第一组基 $\bm{i},\bm{j}$到第二组基 $\bm{\alpha},\bm{\beta}$ 的坐标变换公式.

具体到我们这里的情况，设点 $P$在斜坐标系下的坐标是 $P(x,y)$，即 $\vv{OP}=x\vv{OA}+y\vv{OB}$，以点 $O$为原点，$\vv{OA}$为 $x$ 轴正向建立直角坐标系，并设两个方向上的单位向量分别为 $\bm{i}$和$\bm{j}$，设 $|\vv{OA}|=a$，$|\vv{OB}|=b$，$\angle{AOB}=\theta$，那么有
\[ \vv{OA}=a\bm{i},\  \vv{OB}=b\cos{\theta}\bm{i}+b\sin{\theta}\bm{j} \]
因此有(也可以套用前面公式)
\[ \vv{OP}=x\vv{OA}+y\vv{OB}=(xa+yb\cos{\theta})\bm{i}+(yb\sin{\theta})\bm{j} \]
这就是说，点 $P$ 在直角坐标系下的坐标是 $P(xa+yb\cos{\theta},yb\sin{\theta})$。

剩下的事情就是把你前面的斜坐标下的轨迹方程都通过上述变换变成直角坐标系下的方程，以下略。

hjfmhh

回复 6# zhcosin

zhcosin

回复 7# hjfmhh

提示，经过恰当的旋转变换，可以把它们化成圆锥曲线的标准方程，这本来就不属于考试大纲内容，但是基础好的学生是完全能看懂的。

最近几天特忙，等我有空把楼上那贴完善下。

hjfmhh

回复 8# zhcosin

谢谢，期待

kuing

回复 7# hjfmhh

要中学生理解的话，用2#、3#来讲不就行了么？
2#表明变换前后曲线的次数不变；3#表明二次曲线变换前后的类型不变。这就够了，不需要讲太具体。

kuing

关于双曲线，也可以看看这个帖：双曲线与`y=px+q/x`互换

其妙

楼主大约是从双曲线$（x-a）(y-b)=c$推而广之的吧，将看见一篇大作上书刊。

游客

一个直角坐标系和一个放射坐标系 之间的放射变换。

zhcosin

回复 7# hjfmhh

zhcosin

关于平面上的点的坐标变换，可以通过向量的坐标变换得到:





而更一般的情况则是:

其妙

回复 15# zhcosin
你这是要主编教材的节奏

zhcosin

回复 16# 其妙
那份笔记本来就是要当教材来写的，只是不是考试用教材。