函数零点求参数范围

敬畏数学

函数$ f(x)=(x-1)e^x +|e^x-a|$有且仅有两个零点，则$ a $的范围——————。

Czhang271828

等价于问 $(\ln y-1)y=-|y-a|$ 在定义域内有且仅有两个零点.

令 $g(y)=(\ln y-1)y$, 则 $g'(y)=\ln y$. 导函数大于 $0$, 则函数凸.

$g$ 的零点不多于两个, 计算得 $g(x\to 0)=f(x\to -\infty)=0$ 与 $g(e)=0$.

接着就是分析顶点在 $(a,0)$ 处的 $\wedge$-形图与 $g$ 的交点了. 区段如下.

(a) 存在最大的 $x_0$ 使得 $-\infty <a<x_0$ 时无交点.

(b) $a=x_0$ 无外乎两种情况: $\wedge$ 的右支射线与 $g$ 相切, 或 $\wedge$ 的顶点触及 $(0,0)$. 由 $g'(x\to 0)=-\infty$ 知前一种情况成立. 此时去绝对值知 $(\ln y-1)y=y-a$, 解 $a=(\ln y-2)y$ 的最小知值知 $x_0=a_{\min}=-1/e$. 此时 $y=1/e$.

(c) $-1/e<a<0$ 时,  $\wedge$ 的右支射线与 $g$ 有两个交点, 复合题意.

(d) $a=0$ 时, 仅有一个交点, 因为 $g(0)=f(-\infty)$ 无定义.

(e) 存在最大的 $x_1$ 使得 $0<a<x_1$ 时 $\wedge$ 与 $g$ 有两个交点.

(f) $x_1$ 的情况类似 (b) 的分析. 由 $g'(e)=1$ 知两种情况恰好同时成立 (相切与触及). 此时 $x_1=e$.

(g) $e<a$ 时无交点.

综上, 答案 $(-1/e,0)\cup (0, e)$.