函数参数

hjfmhh

Czhang271828

命题思路就是凑出左侧二阶项系数为 $a$, 三阶项系数正数. 如果记 $f(x)=\dfrac{e^x-x\cos x+\cos x\ln \cos x-1}{x^2}$, 则有 $\lim_{x\to 0}=0$, $f'(x)>0$. 从而不等式对 $a>0$ 都成立.

作为选择题, 自然先抛去三阶项. 下验证 $a=1$. 注意到
\[
e^x\geq 1+x+x^2/2,\qquad x\cos x\leq x
\]
从而只需证明 $3x^2+2\cos x\ln \cos x\geq 0$. 由于 $\cos x\geq 1-x^2/2$, 从而只需证明
\[
3(1-\cos x)+\cos x\ln \cos x\geq 0.
\]
此处令 $t:=\cos x\in (0,1)$. 由于 $3(1-t)+t\ln t$ 在 $t\in (0,1)$ 时递减, 且在 $t\to 1$ 时取 $0$, 从而原不等式成立.

kuing

Czhang271828 发表于 2023-5-21 14:00
命题思路就是凑出左侧二阶项系数为 $a$, 三阶项系数正数. 如果记 $f(x)=\dfrac{e^x-x\cos x+\cos x\ln \cos ...

`a` 可以取 `0` 喔。

`a=0` 时，你的方法照样可行：
\begin{align*}
&e^x-x\cos x+\cos x\ln\cos x\\
>{}&1+x+\frac{x^2}2-x+\cos x\ln\cos x\\
>{}&2-\cos x+\cos x\ln\cos x\\
={}&2-t+t\ln t,
\end{align*}
其中 `t=\cos x\in(0,1)`，求导 `(2-t+t\ln t)'=\ln t<0`，所以 `2-t+t\ln t>2-1+1\ln1=1`。

hjfmhh

Czhang271828 发表于 2023-5-21 14:00
命题思路就是凑出左侧二阶项系数为 $a$, 三阶项系数正数. 如果记 $f(x)=\dfrac{e^x-x\cos x+\cos x\ln \cos ...

谢谢。能请教一下二阶项系数和三阶项系数是什么吗？limf(x)=0是不是洛必达求得的，f'(x)>0是为什么？