恒成立 求参数范围

facebooker

已知函数$f(x)=x^3+mx,$若$f(e^x)≥ f(x-1)$对$x∈ R$恒成立,则实数$m$的取值范围为___

kuing

右边真的是 f(x-1) 而不是 f(x+1) ？

facebooker

kuing 发表于 2023-5-8 19:02
右边真的是 f(x-1) 而不是 f(x+1) ？

真的是x-1  没写错。

kuing

facebooker 发表于 2023-5-8 19:34
真的是x-1  没写错。

好吧，看来是我直觉错了。

这样的话，还是先猜后证吧，代 `x=0` 得必要条件 `m\ge-1`，再证明 `m\ge-1` 时不等式恒成立即可。

令 `g(x)=f(e^x)-f(x-1)`，则 `g'(x)=e^xf'(e^x)-f'(x-1)`，有 `g'(0)=f'(1)-f'(-1)=0`，于是只需证明当 `m\ge-1` 时恒有 `g''(x)>0` 即可。
经计算 `g''(x)=9e^{3x}+me^x-6x+6\ge9e^{3x}-e^x-6x+6`，显然恒正。

facebooker

kuing 发表于 2023-5-8 23:29
好吧，看来是我直觉错了。

这样的话，还是先猜后证吧，代 `x=0` 得必要条件 `m\ge-1`，再证明 `m\ge-1`  ...

非常感谢！