恒成立，求取值范围

lemondian

若$\dfrac{e^x}{a}-ln(x-1)-5+2lna\geqslant 0$恒成立，求$a$的取值范围。

kuing

ln 没打对
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战巡

\[f(x)=\frac{e^x}{a}-\ln(x-1)-5+2\ln(a)\]
\[f'(x)=\frac{e^x}{a}-\frac{1}{x-1}=0\]
令这个解为$x_0$，则有
\[a=e^{x_0}(x_0-1)\]
\[f(x_0)=\frac{e^{x_0}}{e^{x_0}(x_0-1)}-\ln(x_0-1)-5+2\ln(e^{x_0}(x_0-1))\]
\[=\frac{1}{x_0-1}+2x_0+\ln(x_0-1)-5\ge 0\]
强解这个玩意得到
\[x_0\ge 2 或1<x_0\le 1.26216...\]
反算回来就有
\[a\ge e^2或 0<a\le 0.926223...\]

敬畏数学

战巡 发表于 2022-9-26 15:53
\[f(x)=\frac{e^x}{a}-\ln(x-1)-5+2\ln(a)\]
\[f'(x)=\frac{e^x}{a}-\frac{1}{x-1}=0\]
令这个解为$x_0$， ...

又一道错题。

战巡

敬畏数学 发表于 2022-9-26 16:22
又一道错题。

题没错啊，这不是解出来了么，软件验证过，结果就是这样的

又不是说非要解析解才算是有解