来自人教群的简单不等式$x,y>0,x+y+1=xy,\min(x+2y)=?$

kuing · 发表于 2014-4-5 14:56

爱好者-简单(5129*****)  14:39:38
若正实数x,y满足x+y+1=xy，则x+2y的最小值是（  ）
A．3  B．5  C．7  D．8。
可以用不等式的知识求解吗？

由均值不等式得
\[x+2y+1=(x+1)y\leqslant \frac18(x+1+2y)^2,\]
即得 $x+2y\geqslant7$，当 $x=3$, $y=2$ 取等。

其妙 · 发表于 2014-4-5 14:58

回复 1# kuing
干净利落，快速！

其妙 · 发表于 2014-4-5 15:13

由条件得，$(x-1)(y-1)=2$，不难得到$x>1,y>1$，

于是，$x+2y=(x-1)+2(y-1)+3\geqslant2\sqrt{2(x-1)(y-1)}+3=4+3=7$，取等号同1楼。

kuing · 发表于 2014-4-5 15:20

回复 3# 其妙

不错，看上去你的解法自然些

其妙 · 发表于 2014-4-5 15:41

回复 4# kuing
这是简单题，所以还有其它方法，例如判别式法、消元法等
不过还是觉得你解法挺自然的呢！干净利落，
因为目标是x+2y，你始终紧扣这个目标，不管是配x+2y还是放缩，都是朝着x+2y这个目标进行的，所以相当的自然！

踏歌而来 · 发表于 2014-4-5 17:04

两位的算法都很巧妙，佩服！

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[不等式] 来自人教群的简单不等式$x,y>0,x+y+1=xy,\min(x+2y)=?$