普高解法是什么呢？一个权方和不等式

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倪--(30----21) 17:50:42
对任意$s,t\in R+$,求实数a的最大值，使得下列不等式恒成立
\[\frac{(s+1)^2}{t}+\frac{(t+1)^2}{s}\ge{a^2}\]
权方和不等式就一行了．
写成cauchy不等式样子就是,记$s+t=z$
\begin{align*}
\frac{(s+1)^2}{t}+\frac{(t+1)^2}{s}&=\frac{1}{s+t}(s+t)(\frac{(s+1)^2}{t}+\frac{(t+1)^2}{s})\ge\frac{(s+t+2)^2}{s+t} \\
&=z+\frac{4}{z}+4\\
\end{align*}

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徐-(58----87)  21:01:52
然后连续的基本不等式
展开后就是基本不等式不停地配，过程不写了．

其妙

普高解法1：
$\dfrac{(s+1)^2}t+\dfrac{(t+1)^2}s \geqslant \dfrac{4s}t+\dfrac{4t}s\geqslant 8$，故$a^2\leqslant8$，后面略.

其妙

普高解法2：
$[\dfrac{(s+1)^2}t+4t]+[\dfrac{(t+1)^2}s+4s] \geqslant4 (s+1)+4(t+1)=4s+4t+8$，

故$\dfrac{(s+1)^2}t+\dfrac{(t+1)^2}s \geqslant 8
$，所以$a^2\leqslant8$，后面略.

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(z)同事_王

排序，二次函数

其妙

普高解法3：
因为$4\cdot1\cdot s\leqslant{(s+1)^2}$，同理，$4\cdot1\cdot t\leqslant{(t+1)^2}$，

故$\dfrac{(s+1)^2}t+\dfrac{(t+1)^2}s=\dfrac{4(s+1)^2}{4\cdot1\cdot t}+\dfrac{4(t+1)^2}{4\cdot1\cdot s} \geqslant \dfrac{4(s+1)^2}{(t+1)^2}+\dfrac{4(t+1)^2}{(s+1)^2}\geqslant 8$，所以，$a^2\leqslant8$，后面略.

其妙

非普高解法1：
$\dfrac{(s+1)^2}{t}+\dfrac{(t+1)^2}{s}\geqslant\dfrac{(s+t+2)^2}{s+t}
=\dfrac{8(s+t+2)^2}{4(s+t)\cdot2}\geqslant\dfrac{8(s+t+2)^2}{(s+t+2)^2}=8$，

这里用了权方和不等式，以及不等式$4xy\leqslant(x+y)^2$.

非普高解法2：
或者，$\dfrac{(s+1)^2}{t}+\dfrac{(t+1)^2}{s}\geqslant\dfrac{(s+t+2)^2}{s+t}\geqslant\dfrac{(2\sqrt{(s+t)\cdot2})^2}{s+t}
=\dfrac{8(s+t)}{s+t}=8$，以下略。