一道函数题，该怎么想？

aishuxue · 发表于 2014-4-8 22:21

$\forall x\in \mathbf{N},f(x)+f(x+2)\leqslant 2f(x+1)$,且$f(x)\in \mathbf{N}$,证明:$\forall x\in \mathbf{N},f(x+1)\geqslant f(x)$.

等待hxh · 发表于 2014-4-8 22:43

kuing · 发表于 2014-4-8 22:45

假如某个 $a\in\mbb N$ 使 $f(a+1)<f(a)$，则 $f(a+1)-f(a)\leqslant-1$，故 $f(a+2)-f(a+1)\leqslant f(a+1)-f(a)\leqslant-1$，……，如此下去，都所有 $n\in\mbb N^+$ 都有 $f(a+n)-f(a+n-1)\leqslant-1$，求和得 $f(a+n)\leqslant f(a)-n$，当 $n$ 充分大时，右边必为负，矛盾。

aishuxue · 发表于 2014-4-8 23:50

由$f(a+1)<f(a)$,得$f(a+2)-f(a+1)\leqslant f(a+1)-f(a)<0$,得$f(a+2)<f(a+1)$,故有$f(a)>f(a+1)>f(a+2)>\cdot,$无限下去,容易推出矛盾,这样说有问题吗?请问Kuing!

kuing · 发表于 2014-4-8 23:57

回复 4# aishuxue

有，只说明递减是不够的。

aishuxue · 发表于 2014-4-9 00:04

从某个正整数开始递减，难道不能说明问题吗？？

aishuxue · 发表于 2014-4-9 00:08

回复 5# kuing
问题出在什么地方？

其妙 · 发表于 2014-4-9 00:13

回复 6# aishuxue
说的不明显，这属于自己懂了，但没把理由写充分，他人未见得理解了你的意思，
所以关键之处还要详细点，理由充分点。
比如你的理由写在了6楼（这理由还是可以理解，但你没有将之变为数学化、代数化的语言），所以单看4楼理由就是不充分的。

kuing · 发表于 2014-4-9 00:13

回复 6# aishuxue

噢，那些都是整数，那就没问题了。

kuing · 发表于 2014-4-9 01:12

回复 8# 其妙

我当时是以为他脱离了原题而想讨论一般情况，所以我就没当那些是整数了……

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