数列最小值问题

等待hxh · 发表于 2014-4-8 22:55

（这一类型的最值问题，有什么套路可循吗？希望高人指点迷津！！）

其妙 · 发表于 2014-4-8 23:03

回复 1# 等待hxh
kk是全能的，不过不等式却更是他的强项！

其妙 · 发表于 2014-4-9 00:04

答案：$\dfrac32$，对不对？

kuing · 发表于 2014-4-9 00:27

回复 3# 其妙

嗯，对的，才想起这个结论：artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=2020326&#p2020326（5#）

\begin{align*}
&\frac{a_1}{a_2^2+1}+\frac{a_2}{a_3^2+1}+\cdots+\frac{a_n}{a_1^2+1} \\
={}&a_1-\frac{a_1a_2^2}{a_2^2+1}+a_2-\frac{a_2a_3^2}{a_3^2+1}+\cdots+a_n-\frac{a_na_1^2}{a_1^2+1} \\
\geqslant{}& 2-\frac{a_1a_2}2-\frac{a_2a_3}2-\cdots-\frac{a_na_1}2,
\end{align*}
利用贴中的结论有 $a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_na_1\leqslant1$，故原式 $\geqslant3/2$。

爪机专用 · 发表于 2014-4-9 02:46

这题跟数列根本没关系, 标题没取好。

等待hxh · 发表于 2014-4-9 10:08

回复 4# kuing

等号能成立吗？如果等号成立的话，那就有a1=a2=a3=....an=1，此时与a1+a2+。。。+an=2矛盾

kuing · 发表于 2014-4-9 12:42

当 $a_1=a_2=1$, $a_3=a_4=\cdots=a_n=0$ 时取等。

等待hxh · 发表于 2014-4-9 13:25

哦，对，我以为您用的是均值不等式，所以需要都等于1，看错了，谢谢kuing的精彩解答！

kuing · 发表于 2014-4-9 13:55

第一步之后是在分母里面用了均值，只看分母中是取不了等的，但由于分子可以为 0，所以还是能取到。

kuing · 发表于 2014-4-18 17:10

原来我在旧论坛也做过一次
kkkkuingggg.haotui.com/thread-1064-1-5.html
记忆力又差了……

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