六条等分三角形面积线（2013新课标全国卷Ⅱ第12题）续

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就是将 2013年新课标全国卷Ⅱ的第12题 中的，三中线，及三平行于边的等分面积线，拿出来，则有，三个三线共点，说通俗点就是：

如图，$AM$为中线，$DE \sslash AC,FG\sslash AB$，且$DE$，$FG$分别均将$\triangle ABC$面积平分，求证：$AM,DE,FG$三线共点。

其妙

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变是变了，纯几何 证明还未搞定呢

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证明，如图





记DE与FG相交于K，连接AK，延长线交BC于M。

由于DE与FG均平分三角形ABC的面积，于是
\[\frac {BD}{BA}=\frac {1}{\sqrt 2}=\frac {CG}{AG} \Rightarrow  DG\sslash BC\]

而平行四边形ADKG，$DJ=JG$，于是
\[\frac {DJ}{ME}=\frac {JG}{MF}\Rightarrow  FM=ME\]

另一方面 \[DG\sslash BC,S_{\triangle DBE}=S_{\triangle GFC}\Rightarrow BE=FC\]

从而，M为BC中点，得证。

乌贼

作$DE//AC$并平分$\triangle ABC$面积分别交$AM、AB、BC$于$K、D、E$，过$K$作$GF$分别交$BC、AC$于$G、F$。
$\dfrac{MG}{MB}=\dfrac{MK}{MA}=\dfrac{ME}{MC}\riff MG=ME$
图中彩色三角形面积相等，所以$GF$平分$\triangle ABC$面积。得证

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回复 5# 乌贼


    先中线与平行线，再证过前两线交点的平行线平均面积，也不错。