一大波不等式正在逼近

天书

1:$a,b,c\ge0$,求满足下式的最小系数$k$使得:
$$\sum\frac{(b+c)\sqrt{bc}}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}\le k\sum a$$
2:$a,b,c\ge0,a+b+c=1$,证:$$\sum ab\sum ab^2\le\frac{1}{27}$$
3:$x_k>0$满足$\sum_{k=1}^nx_k=n$,证明:$$
\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\cdots+\frac{x_n}{x_1}\le\frac{4}{x_1x_2\cdots x_n}+n-4$$
4:$a,b,c,d>0$满足$3(a^2+b^2+c^2+d^2)=4(a+b+c+d)+1$,证明:$$a^3+b^3+c^3+d^3\le11$$
5:$0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_{3n}$,证:
$$\left(\sum_{k=1}^{3n}a_k\right)^3\ge27n^2\sum_{k=1}^na_ka_{n+k}a_{2n+k}$$
6:$a,b,c,d\ge0,a+b+c+d=4$,证明:$$\left(a^2b+b^2c+c^2d+d^2a\right)\left(abc+bcd+cda+dab\right)\le16$$

kuing

这标题……
“一大波不等式正在逼近”

kuing

第2题就是经典的这个 artofproblemsolving.com/blog/38749 了

其妙

这标题……
“一大波不等式正在逼近”
kuing 发表于 2014-5-3 20:27

kuing

第1题：
令 $b=c=1$，则应有
\[\frac2{a+1}+\sqrt{2a(a+1)}\leqslant k(a+2)\]
对任意 $a\geqslant 0$ 恒成立，而求极限易得
\[\lim_{a\to+\infty}\frac1{a+2}\left( \frac2{a+1}+\sqrt{2a(a+1)} \right)=\sqrt2,\]
可见必先有 $k\geqslant \sqrt2$，下面证明当 $k=\sqrt2$ 时不等式成立。

由对称性，不妨设 $a=\max\{a,b,c\}$，则
\begin{align*}
\sum{\frac{(b+c)\sqrt{bc}}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}} &=\frac{(b+c)\sqrt{bc}}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} +\frac{(c+a)\sqrt{ca}}{\sqrt{(b+c)(b+a)}} +\frac{(a+b)\sqrt{ab}}{\sqrt{(c+a)(c+b)}} \\
& \leqslant \frac{(b+c)\sqrt{bc}}{\sqrt{(c+b)(b+c)}} +\frac{(c+a)\sqrt{ca}}{\sqrt{(b+c)a}} +\frac{(a+b)\sqrt{ab}}{\sqrt{a(c+b)}} \\
& =\sqrt{bc}+\frac{b\sqrt b+c\sqrt c}{\sqrt{b+c}}+a\frac{\sqrt b+\sqrt c}{\sqrt{b+c}} \\
& \leqslant \sqrt{bc}+\frac{b\sqrt b+c\sqrt c}{\sqrt{b+c}}+\sqrt2a,
\end{align*}
故剩下只需证
\[\sqrt{bc}+\frac{b\sqrt b+c\sqrt c}{\sqrt{b+c}}\leqslant \sqrt2(b+c),\]
为了改少根号，令 $b=x^2$, $c=y^2$，其中 $x$, $y>0$，则上式等价于
\[\frac{x^3+y^3}{\sqrt{x^2+y^2}}\leqslant \sqrt2(x^2+y^2)-xy,\]
显然右边非负，故两边平方等价于
\[\frac{(x^3+y^3)^2}{x^2+y^2}\leqslant 2(x^2+y^2)^2-2\sqrt2xy(x^2+y^2)+x^2y^2,\]
只需证明更强式
\[\frac{(x^3+y^3)^2}{x^2+y^2}\leqslant 2(x^2+y^2)^2-3xy(x^2+y^2)+x^2y^2,\quad(1)\]
事实上
\begin{align*}
(1) &\iff \frac{(x+y)^2(x^2+y^2-xy)^2}{x^2+y^2}\leqslant (2x^2+2y^2-xy)(x^2+y^2-xy) \\
&\iff (x+y)^2(x^2+y^2-xy)\leqslant (x^2+y^2)(2x^2+2y^2-xy) \\
&\iff \bigl(x^2+y^2-(x+y)^2\bigr)xy\leqslant (x^2+y^2)\bigl(2x^2+2y^2-(x+y)^2\bigr) \\
&\iff -2x^2y^2\leqslant (x^2+y^2)(x-y)^2,
\end{align*}
显然成立。

综上所述，$k$ 的最小值为 $\sqrt2$。

kuing

PS. 第1题的反方向不等式之前在这里做过 kkkkuingggg.haotui.com/thread-681-1-7.html

realnumber

转一个

证明：y=4-x-z-w代入得到，需要证明(x+z)(4-x-z-w)+zw+x+w≤6.25
上式左边看作w的一次函数(0≤w≤4-x-z),所以只需要证明w=0与w=4-x-z代入成立即可．
当w=0时，即为(x+z)(4-x-z)+x＋z-z≤6.25，其中0≤x+z≤4,左边看作x+z的二次函数,得6.26-z≤6.25成立．
当w=4-x-z时，此时y=0，即为(z+1)(4-x-z)+x≤6.25,其中0≤x≤4-z,(因为w=4-x-z≥0),左边为x的一次函数,x=0和x=4-z代入可证．

kuing

回复 7# realnumber

？可以另开新贴哇

realnumber

又是１楼楼主的
不等式2a^3.gsp (2.9 KB, 下载次数: 2342)

2014-5-8 18:25 上传

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几何画板实验了下，没发现错误．

realnumber

未命名1.gsp (3.51 KB, 下载次数: 2294)

2014-5-22 08:17 上传

点击文件名下载附件

１楼楼主的．
附件中：对于给定的b,细线a是c的函数，粗线是所证不等式b=1.6,c=2.5是反例．

其妙

第三题是2012以色列数学奥林匹克blog.sina.com.cn/s/blog_4c11310201015ged.html