一道数列小题

aishuxue

等比数列$\{a_n\}$满足$a_1=1,0<q<\dfrac{1}{2}$,且对任意的正整数$k,a_k-(a_{k+1}+a_{k+2})$仍是该数列中的某一项，
求公比$q$的值.

tommywong

$a_n=q^{n-1}$

$q^{k-1}-q^k-q^{k+1}=q^m$

$q^{k-1}(1-q-q^2)=q^m$

$1-q-q^2\ne1$

$1-q-q^2=q$

$q^2+2q-1=0,q=\sqrt{2}-1$

战巡

回复 2# tommywong


不严谨
少一步：易证$1-q-q^2>\frac{1}{4}>q^2\ge q^n, n\in N^+, n\ge 2$
所以只能$1-q-q^2=q$