$\frac{f(x)}{f(y)}+\frac{f(1-x)}{f(1-y)} \le 2$，求$f(x)$

abababa

$f(x)$定义在$(0, 1)$上且为实数，$f(x) > 0, f(\frac{1}{2}) = 1$，对任意$x,y \in (0,1)$都有$\frac{f(x)}{f(y)}+\frac{f(1-x)}{f(1-y)} \le 2$，求$f(x)$
这个我解出来$f(x) = 1$，不过感觉自己的做法有点麻烦，用了两次平均值不等式，想看看有没有简化点的方法
还有我发帖时说标题长度多于80字，是不是能放宽点呢？有时打上一些latex就很长了

007

回复 1# abababa


    $\frac{f(x)}{f(y)}+\frac{f(1-x)}{f(1-y)} \le 2,\frac{f(y)}{f(x)}+\frac{f(1-y)}{f(1-x)} \le 2$,两式相加，利用平均值不等式，可得$\frac{f(x)}{f(y)}=\frac{f(y)}{f(x)}$,从而$f(x)=f(y)$,即是常数函数。

realnumber

回复 2# 007


    鼓掌----

abababa

回复 2# 007
谢谢，这个简单，我还令y=1/2什么的，确实做麻烦了。

007

回复 4# abababa


    简单问题复杂化，我也经常这样……

kuing

老题

PS、标题长度限制是系统设置的，我也没啥办法

其妙

看起倒是很唬人

isee

这种考思维的，特别这种夹一下的，真的很考人的

其妙

回复 8# isee
，例如这里有几例：

• Determine $x, y \inZ$ knowing that：
  \[
  \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1} \geq \sqrt{x y}
  \]
• 已知 $x<y<z<6$ ，解不等式组．
  \[
  \left\{\begin{array}{c}
  \frac{1}{y-x}+\frac{1}{z-y} \leq 2 \\
  \frac{1}{6-z}+2 \leq x
  \end{array}\right.
  \]
• 求方程组 $\left\{\begin{array}{l}\left(1+4 x^2\right) y=4 z^2 \\ \left(1+4 y^2\right) z=4 x^2 \\ \left(1+4 z^2\right) x=4 y^2\end{array}\right.$ 的所有实数解．