转发一个不等式--

realnumber

江苏陈

kuing

这是原题？

realnumber

$m^2+n^2\ge 2mn$
所以只需要证明$2m^3+2n^3+m^2+n^2\ge 6mn^2$
又$n^2\ge 3mn^2,m^2\ge 3m^3$
所以只需要证明$5m^3+n^3+n^3\ge 3mn^2$
而这个显然成立，因为$m^3+n^3+n^3\ge 3mn^2$.

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回复 2# kuing


    恩，水母一个

其妙

回复 4# realnumber
证法不错，整理一下：
\begin{align*}
2m^3+2n^3+2m^2+2n^2
&=(m^3+n^3+n^3)+(m^2+n^2)+n^2+(m^3+m^2)\\
&\geqslant 3mn^2+2mn+3mn^2+(m^3+m^2)\\
&\geqslant 2mn+6mn^2+(m^3+m^2)\\
&\geqslant 2mn+6mn^2
\end{align*}
然后不等式两边除以2即得。
当且仅当$m=n=0$取等号。

其妙

本题在原题条件下，可加强为：\begin{align*}
m^3+2n^3+m^2+2n^2
&\geqslant 2mn+6mn^2
\end{align*}

其妙

这里也有shaojianbo的判别式解答：blog.sina.com.cn/s/blog_4fdcf29b0102uxng.html
变式题：

变式题的解答：blog.sina.com.cn/s/blog_c27636ef0102uxld.html