又一个均值不等式

guanmo1

图中的解答过程中，划横线处系数是2，按照解答看，最后结论不应该也有系数2吗？是题错了，还是解答有问题？

kuing

原题没错，解答错了，均值那一步已经放缩过度。

guanmo1

回复 2# kuing

期待修正。

kuing

那还不简单？

由 $x+y+z=0$ 及对称性，可不妨设 $xy\leqslant 0$，则
\begin{align*}
6(x^3+y^3+z^3)^2&=6\bigl(x^3+y^3-(x+y)^3\bigr)^2\\
&=54x^2y^2z^2\\
&=27\abs{xy}\cdot\abs{xy}\cdot 2z^2 \\
&\leqslant (2\abs{xy}+2z^2)^3 \\
&=\bigl(-2xy+(x+y)^2+z^2\bigr)^3 \\
&=(x^2+y^2+z^2)^3.
\end{align*}
根本就不用写那么多东西。

战巡

回复 1# guanmo1

由于$x+y+z=0$，可以令$x,y,z$为方程$a^3+pa=q$的三个解
\[\begin{cases}6(x^3+y^3+z^3)^2=6(q-px+q-py+q-pz)^2=6(3q)^2=54q^2\\ (x^2+y^2+z^2)^3=((x+y+z)^2-2(xy+yz+xz))^3=(0-2p)^3=-8p^3\end{cases}\]
由于方程有三个实数解，可知：
\[\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}\le 0\]
\[54q^2\le -8p^3\]

kuing

回复 5# 战巡

三次判别式也上了，好玩儿……