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kuing
Post time 2015-3-6 14:45
第二题还是有点儿难度的，虽然只是几步的功夫。
首先由 \holder 不等式有
\[\left( \sum\frac1{\sqrt{bc+ca}} \right)^2\sum(bc+ca)\geqslant 27,\]
得到
\[\sum\sqrt{\frac{2ab}{a+b}}=\sqrt{2abc}\sum\frac1{\sqrt{bc+ca}}\geqslant \sqrt{2abc}\sqrt{\frac{27}{2(ab+bc+ca)}}=3\sqrt{\frac{3abc}{ab+bc+ca}}\geqslant 3,\]
所以
\begin{align*}
\sum\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+3&\leqslant \sum\left( \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{2ab}{a+b}} \right) \\
& \leqslant \sum\sqrt{(1+1)\left( \frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{2ab}{a+b} \right)} \\
& =\sqrt2\sum\sqrt{a+b}.
\end{align*} |
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其妙
Post time 2015-3-6 22:15
