三个不等式题

guanmo1

1． $a, b, c>0, a+b+c=1$ 证明：若正实数 $x_{i}$ 满足 $x_1 x_2 \cdots x_{m}=1, \prod_{i=1}^n\left(a x_i^2+b x_i+c\right) \geqslant 1$

2．正实数 $a, b, c$ 满足 $ab+bc+ac \leqslant 3 abc$，证明：$\sum \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+3 \leq \sqrt{2}\left(\sum \sqrt{a+b}\right)$

3．给定 $n \geqslant 2$，求所有 $m \inZ^+$，使得对 $ai \inR+$，满足 $a_1 a_2 \cdots a_{n}=1$，则 $\sum a_i^2 \geq \sum \frac{1}{a_i}$ ．

kuing

1、由 Carlson 不等式显然成立。

kuing

3、请核对题目

kuing

第二题还是有点儿难度的，虽然只是几步的功夫。

首先由 \holder 不等式有
\[\left( \sum\frac1{\sqrt{bc+ca}} \right)^2\sum(bc+ca)\geqslant 27,\]
得到
\[\sum\sqrt{\frac{2ab}{a+b}}=\sqrt{2abc}\sum\frac1{\sqrt{bc+ca}}\geqslant \sqrt{2abc}\sqrt{\frac{27}{2(ab+bc+ca)}}=3\sqrt{\frac{3abc}{ab+bc+ca}}\geqslant 3,\]
所以
\begin{align*}
\sum\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+3&\leqslant \sum\left( \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{2ab}{a+b}} \right) \\
& \leqslant \sum\sqrt{(1+1)\left( \frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{2ab}{a+b} \right)} \\
& =\sqrt2\sum\sqrt{a+b}.
\end{align*}

guanmo1

回复 3# kuing
不等式左边是$a_i$的$m$次方

其妙

1、由 Carlson 不等式显然成立。
kuing 发表于 2015-3-6 12:40

叫holder不等式可以不？

kuing

回复 6# 其妙

Carlson 可以是 holder 的推论，所以那样说也没什么问题，不过我觉得还是说“亲近”些的比较好