三角

hjfmhh

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射影定理中的任意两个关系式推出另外一个，如何证明

战巡

回复 2# hjfmhh


硬来就完了嘛
令$\frac{b}{a}=x, \frac{c}{a}=y$
就有
\[\begin{cases} 1=x\cos(C)+y\cos(B) \\ 1=\frac{y}{x}\cos(A)+\frac{1}{x}\cos(C)\end{cases}\]
得到
\[\begin{cases} x=\frac{\cos(A)+\cos(B)\cos(C)}{\cos(B)+\cos(A)\cos(C)}=\frac{\cos(\pi-B-C)+\cos(B)\cos(C)}{\cos(\pi-A-C)+\cos(A)\cos(C)}=\frac{\sin(B)}{\sin(A)} \\ y=\frac{1-\cos^2(C)}{\cos(B)+\cos(A)\cos(C)}=\frac{\sin^2(C)}{\cos(\pi-A-C)+\cos(A)\cos(C)}=\frac{\sin(C)}{\sin(A)}\end{cases}\]
剩下好办，略过

hjfmhh

由A+B+C=pi,x=cosA,y=cosB,z=cosC.
得到：x^2+y^2+z^2+2xyz=1,由a=bz+cy,b=cx+az,得到
a=c(y+xz)/(1-z^2),b=c(x+zy)/(1-z^2),
于是：acosB+bcosA=ay+bx=c(x^2+y^2+2xyz)/(1-z^2)=c.