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kuing
Post time 2015-3-30 17:00
N年前的老题兼FAQ的改编而已。
当年的题目的条件是“两个小于 1 的不等正根”，这里就是平移了一下，所以照搬当年的均值解法即可。
由条件可设 $ax^2+bx+c=f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ 且 $1<x_1<x_2<2$，则 $f(1)=a(1-x_1)(1-x_2)\geqslant1$, $f(2)=a(2-x_1)(2-x_2)\geqslant 1$，故
\[1\leqslant f(1)f(2)= a^2(x_1-1)(2-x_1)(x_2-1)(2-x_2)<\frac{a^2}{16},\]
所以 $a>4$，又 $f(x)=5x^2-15x+11$ 符合条件，所以 $a$ 的最小值为 $5$。
而且，当 $a=5$ 时，除了 $f(x)=5x^2-15x+11$ 之外就没有其他符合条件的函数了，这是因为当 $a=5$ 时由上可知$1\leqslant f(1)f(2)<25/16<2$，而 $f(1)$, $f(2)\inN^+$，可见只能 $f(1)=f(2)=1$，解得 $b=-15$, $c=11$。 |
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isee
Post time 2015-4-1 16:20
