请教：转发人教网上的一道关于二次函数的选择题

敬畏数学

10．（2015蚌埠市一质检）已知x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且满足1＜x1＜x2＜2，a，b，c∈Z，则当正整数a取得最小值时，b＋c＝（   ）
A．          B．-4        C．       D．
【答案】B
此题，一时没有找到方法，请教！

kuing

N年前的老题兼FAQ的改编而已。
当年的题目的条件是“两个小于 1 的不等正根”，这里就是平移了一下，所以照搬当年的均值解法即可。

由条件可设 $ax^2+bx+c=f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ 且 $1<x_1<x_2<2$，则 $f(1)=a(1-x_1)(1-x_2)\geqslant1$, $f(2)=a(2-x_1)(2-x_2)\geqslant 1$，故
\[1\leqslant f(1)f(2)= a^2(x_1-1)(2-x_1)(x_2-1)(2-x_2)<\frac{a^2}{16},\]
所以 $a>4$，又 $f(x)=5x^2-15x+11$ 符合条件，所以 $a$ 的最小值为 $5$。

而且，当 $a=5$ 时，除了 $f(x)=5x^2-15x+11$ 之外就没有其他符合条件的函数了，这是因为当 $a=5$ 时由上可知$1\leqslant f(1)f(2)<25/16<2$，而 $f(1)$, $f(2)\inN^+$，可见只能 $f(1)=f(2)=1$，解得 $b=-15$, $c=11$。

敬畏数学

很好。但是想通过列不等式组，通过图形解决难度很大。能否往这条路想想？

kuing

回复 3# 敬畏数学

就是麻烦点，做是肯定能做的，当年的原题我也这样做过，见 bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=redirect&got … 8563&pid=2817845 你可以参考下

敬畏数学

非常感激。链接里有多种解法，不一般。

敬畏数学

那个基本不等式的想法真深刻，堪称经典。纯不等式的处理应该比较易入手，但突破也难啊。学习下！

isee

回复 2# kuing


    这个我想起了某一年广州高考（或者模拟）中的一道题。

    另外，此题时，只是 a 为自然数，b 是小于零的，如何知道 a+b+c>＝1？

kuing

回复 7# isee

开口向上，两根在 (1,2) 内，故 f(1) 为正，故大于等于1

isee

回复 8# kuing


    原来如此，这个一个整数，有点竞赛中的数论味道

kuing

回复 9# isee

isee

找到了曾经见过的类题了，2013年广州十六中高一上期中的压轴。

其实都源自，2007年湖北高考卷，文科，第19题。当然的标答就用的均值不等式。
当年也赞了，简洁有效。

踏歌而来

\[
a^2\left(x_1-1\right)\left(2-x_1\right)\left(x_2-1\right)\left(2-x_2\right)<\frac{a^2}{16}
\]
请教大家，为什么不能取等？

踏歌而来

明白了，如果取等，则x1=x2=3/2，不符合题设条件。