一对数型函数的单调性

青青子衿

kuing

\[f(x)=\frac{2\ln x+1}{\ln(2x+1)},\]
求导得
\[f'(x)=\frac{2\bigl((2x+1)\ln(2x+1)-2x\ln x-x\bigr)}{x(2x+1)\ln^2(2x+1)},\]
令
\[h(x)=(2x+1)\ln(2x+1)-2x\ln x-x,\]
求导得
\[h'(x)=2\ln(2x+1)-2\ln x-1=2\ln\left(2+\frac1x\right)-1>2\ln2-1>0,\]
而易证 $\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$，故得 $\lim_{x\to0^+}h(x)=0$，所以 $h(x)>0$ 恒成立，即 $f'(x)>0$ 恒成立，故 $f(x)$ 递增。

而对于 $g(x)$，显然有
\[g(x)=f(x)-\frac2{\ln(2x+1)},\]
所以亦为单增。