应该是初中圆中的最值题

isee

文字版：
半圆⊙O中，AB为直径，C、D为半圆上任意两点，将 弧CD 沿直线CD翻折使AB与 CD弧 相切，已知AB＝8，求CD的最大值_________。

原题图片版：

isee

结果非常容易猜到。

这个一看到就容易直接上解几。

以AB所在的直线为x轴，则圆O方程为：$x^2+y^2=16$.

依题，翻折后与AB相切的圆，设为：$(x-a)^2+(y-4)^2=16$.

则CD直线为：$2ax+8y-a^2-16=0$

从而圆心O到CD的距离为：$d=\dfrac {a^2+16}{\sqrt {4a^2+64}}$.


于是：$CD^2=4(16-d^2)=4\left(16-\dfrac {(a^2+16)^2}{4a^2+64}\right)=64-(a^2+16)$.


显然当$a=0$时（这与猜想一致），取得最大值$CD=4\sqrt 3$.

isee

得到结果了，就好办。


后来一想，既然$O'COD$（$O'$为弧CD所在的圆的圆心）为平行四边形，

则由平行四边形四边平方和等于两对角线平方和，即：

\[16+16+16+16=CD^2+O'O^2.\]


明显的，若圆$O'$与AB相切，则当$O'O_{\min}=4$时，CD有最大值$4\sqrt 3$.

isee

不过，这两法还是代数味浓，有没平几呢？

kuing

对称就好了嘛

两圆心距减小则公共弦长增大，故显然切于圆心时最大。

isee

哦，如此这般啊。

如图，翻折后的圆$O'$与AB相切，要使CD最大，则在圆O中，需要弦心距离$d$最小，而

\[2d=O'O\geqslant O'E=r=4\Rightarrow  d\geqslant 2\Rightarrow CD_{\max}=2\sqrt {4^2-2^2}=4\sqrt 3.\]

kuing

回复 6# isee

道理一样，你写多了，所以发慢了

isee

回复 5# kuing


    一语中地，闪了，先

kuing

这题肯定是初中的了，而且是道好题，比那些又长又臭的好多了。
如果放高中去，估计会坑掉很多人……

其妙

回复 9# kuing
平几会杀掉大半多的人！

椰乡故有情

留下脚印！