来自人教论坛的四边形对角线最大值

kuing

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题目：

这里写一下原贴2#的

黄金分割日 发表于 2015-5-10 23:52
托勒密不等式立得

的过程。
设 $BC=a$，则 $AC=2a$, $AB=\sqrt5a$，由托勒密不等式有
\[BD\leqslant \frac{AB\cdot CD+BC\cdot AD}{AC}=\frac{\sqrt5a\cdot 3+a\cdot \sqrt5}{2a}=2\sqrt5,\]
当 $A$, $B$, $C$, $D$ 四点共圆时取等，这显然是可以取到的，因为 $\angle ADC$ 可以任取。

kuing

@乌贼 来个纯几何解法？

乌贼

回复 2# kuing
等价于：定线段$DC=\sqrt{5}$，圆$D$，半径$AD=3$，$A$为圆上动点，以$AC$为边长向外作正方形$ACEF$，$CE$中点即是$B$点。
如图，以$DC$为边长作正方形$DCMN$，取$CM,AC,DC$中点$O,P,Q$，有\[ \triangle CBO\cong \triangle CPQ \]有\[ OB=PQ=\dfrac12AD=\dfrac{\sqrt5}{2} \]有$B$点的轨迹是以$O$为圆心，$\dfrac{\sqrt5}{2}$为半径的圆，故……

乌贼

回复 3# 乌贼

取值范围$ [ \sqrt2,2\sqrt5  ] $

爪机专用

图似乎可以简化些。
其实用一句话来说就是旋转位似变换

乌贼

回复 6# 活着＆存在
奥，数字搞错，已改。