来自人教群的简单几何又故意用托勒密

kuing

渝X爱好者学习(3308*****)  15:07:14

请教一下上面的问题，谢谢

粤A爱好者kuing(249533164)  15:11:23
由托勒密不等式有 OC*AB <= OA*BC + OB*AC = 2AB，所以 OC <= 2，当 OABC 四点共圆时取等。

isee

嘿，难得有一道偶一眼就可以用均值解决的题呢。

设正方形的边长为2$a$，则\[OC=\sqrt {1-a^2}+\sqrt 3 a\]

isee

而\[\dfrac {OC}4=\dfrac {\sqrt {1-a^2}+\sqrt 3a/3+\sqrt 3a/3+\sqrt 3a/3}4\leqslant \sqrt {\dfrac {1-a^2+a^2/3+a^2/3+a^2/3}{4}}=\dfrac 12\]

乌贼

以$ AO $为边长作正$ \triangle AOD $，有$ D $点在圆$ O $上，\[ \triangle AOB\cong \triangle ADC \]有$ C $点的轨迹是以$ D $为圆心，$ OB $为半径的圆，$ O $点在圆$ D $上，$ OC $为圆$ D $上的弦，故\[ OC\leqslant 2 \]

isee

回复 4# 乌贼


    这是当然是初中旋转(可以说是随意）解法。

isee

这种往往直接以最长的，显得更加简洁（当然，此题里都一样），如以C旋转中心，旋转三角形OCA。

其妙

回复 2# isee
设等边三角形的边长为$2a$ ，则由柯西不等式得，$|OC|=\sqrt{1-a^2}+\sqrt3a\leqslant\sqrt{(1+3)(1-a^2+a^2)}=2$。

kuing

回复 4# 乌贼

可以写得简单些啊，什么轨迹什么的都不需要，就作正边得全等然后OC<=OD+DC=2，一行就完了。

乌贼

回复 8# kuing
思路不一样啊，你的是三角形两边和大于第三边。