数列极限

reny · 发表于 2013-10-2 15:05

本帖最后由 reny 于 2013-10-3 16:23 编辑 （USA NIMO 2013）记$H_{n}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}(n\in N^{*})$,求$\sum_{n=4}^{\infty}\dfrac{1}{n H_{n}H_{n-1}}$.

szl6208 · 发表于 2013-10-2 15:18

利用关系式：
\[\frac{1}{n} = {H_n} - {H_{n - 1}}\]
不难求出.

kuing · 发表于 2013-10-2 15:20

没难度啊
\[\frac1{nH_nH_{n-1}}=\frac{H_n-H_{n-1}}{H_nH_{n-1}}=\frac1{H_{n-1}}-\frac1{H_n}\]

kuing · 发表于 2013-10-2 15:21

嘿，慢了一点……

其妙 · 发表于 2013-10-2 15:59

回复 4# kuing
两分钟之差，都在打公式，说明英雄所见略同，

楼主$H_n$定义错了吧？

kuing · 发表于 2013-10-2 16:00

回复 5# 其妙

那个显然手误，懒得提出……

其妙 · 发表于 2013-10-2 16:03

回复 6# kuing
是的，
楼主的意思是要证明这个级数是发散的吧？$H_{n}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}(n\in N^{*})$
要不这么简单就搞定了。

kuing · 发表于 2013-10-2 16:05

回复 7# 其妙

这个熟知的就更加不用证了吧……

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