一道数列题的第三问

踏歌而来

第一、第二问都没有问题。
第三问不知如何解答。
请大师们帮看看！

kuing

凡是问第N问的，请将前N-1问的答案给出。

＆活着存在

战巡

回复 1# 踏歌而来


\[a_n=2^n+(n-1)\lambda^n\]
\[\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{2}(4+\lambda^2)\]
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\begin{cases} \lambda, \lambda\ge 2\\ 2, 0<\lambda<2\end{cases}\]
很容易证明不管什么情况，都有
\[\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{2}(4+\lambda^2)>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\]
而这数列又没有$0$点，不存在突然跳起一个间断点的事情，显然$\frac{a_{n+1}}{a_n}$是有上界的，而且上界不会在极限处取到，因此得证
反正没说非要求出$k$，只要证明存在就够了

踏歌而来

回复 4# 战巡

实际上，K就是1，用几何画板能看到。
上式只能说明n趋向于+∞时，成立。
如何能够证明n取任何一个正整数都小于等于a2/a1呢？

踏歌而来

回复 2# kuing

刚刚看到。
3楼已经给出了通项公式。

战巡

回复 5# 踏歌而来


都说了只需要证明$k$存在就可以了，没必要多此一举去证什么$k=1$

踏歌而来

回复 7# 战巡

a2/a1对应的就是k=1。

踏歌而来

zuoye.baidu.com/question/a05d19a229ae4c6e404f587ebe8c756e.html

踏歌而来

现在找到了k=1的证明方法。
谢谢大家！

其妙

尼玛这不是天津高考题么？