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命题：在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB\ne AC$，$AD$ 为 $BC$ 上的高，$K$ 在线段 $AD$ 上，若 $\angle KBA=\angle KCA$，则 $K$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心。
源于 bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=3126588 的题目中需要证的东西。
证明：如图，由正弦定理，有
\[1=\frac{KB}{KA}\cdot \frac{KC}{KB}\cdot \frac{KA}{KC}
=\frac{\sin\angle1}{\sin\angle2}\cdot \frac{\sin\angle3}{\sin\angle4}\cdot \frac{\sin\angle5}{\sin\angle6},\]
因为 $\angle 2=\angle 5$，且 $\angle1+\angle2+\angle3=\angle4+\angle5+\angle6=90\du$，所以得到
\[\sin\angle1\cos(\angle1+\angle2)=\cos(\angle5+\angle6)\sin\angle6,\]
积化和差得
\[\sin(2\angle1+\angle2)=\sin(2\angle6+\angle5),\]
因为 $2\angle1+\angle2<2(\angle1+\angle2)<180\du$，同理 $2\angle6+\angle5<180\du$，由 $AB\ne AC$ 得 $\angle1\ne\angle6$，所以只能
\[2\angle1+\angle2+2\angle6+\angle5=180\du,\]
故
\[\angle1+\angle6+\angle2=\angle1+\angle6+\angle5=90\du,\]
所以 $K$ 为垂心。
若将 $A$ 和 $K$ 交换位置即得如下钝角情形的命题。
命题$'$：在 $\triangle ABC$ 中，$A$ 为钝角，$AB\ne AC$，$AD$ 为 $BC$ 上的高，$K$ 在 $DA$ 的延长线上，若 $\angle KBA=\angle KCA$，则 $K$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心。 |
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isee
Post time 2015-8-25 12:50
色k
Post time 2015-8-25 23:56
