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浙B爱好者T35(3705*****) 15:10:23
由前两个等式可得
\[cz^2=ayz-by^2=bzx-ax^2,\]
整理得
\[a(x^2+yz)=b(y^2+zx),\]
同理
\[a(x^2+yz)=c(z^2+xy),\]
由以上两式代回条件的第一个等式中，得
\[\frac{x^2+yz}{y^2+zx}\cdot \frac yz+\frac{x^2+yz}{z^2+xy}\cdot \frac zy=1,\]
进一步可以整理为
\[\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y^2}{y^2+zx}+\frac{z^2}{z^2+xy}=1,\]
令 $u=yz/x^2$, $v=zx/y^2$, $w=xy/z^2$，则 $uvw=1$，上式化为
\[\frac1{1+u}+\frac1{1+v}+\frac1{1+w}=1,\]
去分母化简为
\[u+v+w+1=0,\]
由以上结果以及 $abc=1$，得
\begin{align*}
a^3+b^3+c^3&=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab} \\
& =\sum\frac{(y^2+zx)(z^2+xy)}{(x^2+yz)^2} \\
& =\sum\frac{(1+v)(1+w)}{(vw+1)^2} \\
& =\sum\frac{vw-u}{(vw+1)^2} \\
& =\sum\frac{u^2(vw-u)}{(1+u)^2} \\
& =\sum\frac{u(1-u)}{1+u} \\
& =\sum\left( 2-u-\frac2{1+u} \right) \\
& =6-u-v-w-2\sum\frac1{1+u} \\
& =5.
\end{align*} |
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Tesla35
Post time 2015-9-14 22:17
