《生活中的数学》电子版

不问旧梦

2.9斗地主
现在最流行的纸牌游戏莫过于斗地主了，有些地方也叫欢乐二打一，就连电视上也每天都播出比赛实况，可谓全民性质的娱乐活动了。之所以游戏如此受欢迎，很大程度上是因为游戏本身集娱乐性和智慧性于一身。
游戏规则本身并不复杂，需要三个人参与，开始发牌的时候每人17张，通过叫牌决定地主和农民，底牌的三张由地主获得，因此地主有20张牌。胜负判断标准是：如果地主先于两名农民出光手中的牌就算地主获胜，而两名农民只要有一名农民先于地主出光手中的牌就算农民获胜。
主要的出牌规则如下，实际规则可能还要更复杂一些：
火箭：双王（大王和小王）
炸弹：四张同数值不同花色的牌（如四个2，叫做2炸；四个K，叫做K炸）
单牌：一张牌（如黑桃8）
对子：数值相同的两张牌（如红桃9+梅花9）
三带：数值相同的三张牌 + 一张单牌或一对牌（如777+6或555+99）
单顺：五张或更多的连续单牌（如78910JQK）
双顺：三对或更多的连续对牌（如334455）
飞机：连续的三带 + 同数量的单牌或对牌（如333+444+2+7或QQQ+KKK+55+99）

这种看似简单的纸牌游戏里面也蕴含着概率问题，这也是数学在生活中无处不在的又一体现。下面我们就看几个出牌时候经常遇到的与概率相关的问题。
分析：
1. 如果地主手中没有大小王，那么出现火箭的概率是多少？
既然地主没有大小王，那么大小王肯定在两个农民手里，因此大小王所有可能的分布有四种：大小王都属于农民甲，大小王都属于农民乙，大王属于农民甲并且小王属于农民乙，小王属于农民甲并且大王属于农民乙。通过游戏规则可知，前两种情况会出现火箭，因此出现火箭的概率为2/4=50%。所以地主手中没有大小王的时候还是很危险的，农民手中有一半的概率拥有火箭。
2. 如果地主手中没有K，那么出现K炸的概率是多少？
由于K在所有牌中有4张，因此比分析火箭的概率稍微复杂一些。根据规则我们知道只有四张k都在某一个农民手里才会出现炸弹，因此只有两种分配方式符合需求：四张k都属于农民甲，四张k都属于农民乙。我们再看一下四张K一种有多少种分配方式，就能计算出出现炸弹的概率。
计算四张k一共有多少种分配方式的思路非常简单。黑桃k有两种分配方式，可以属于农民甲，也可以属于农民乙；红桃k也有两种分配方式，可以属于农民甲，也可以属于农民乙；梅花k和方块k同理。因此四张k的所有分配方式为2 x 2 x 2 x 2=16种。而其中有两种分配方式会出现炸弹，因此出现炸弹的概率为2/16=12.5%。可见当地主手中缺少某一种数值的牌时，还是要提防着点农民手中的炸弹。
3. 地主从底牌中直接补到火箭的概率是多少？
这个问题的思路和解法要更加灵活和复杂一些。我们想象有一个具有54个空位的牌桌，我们随机把54张牌放到54个空位中，一共有多少种排列方式？放置第1张牌的时候显然有54个选择；放置第2张牌的时候已经有1个空位被占据，因此还剩53个选择；放置第3张牌的时候已经有2个空位被占据，因此还剩52个选择；以此类推放置第53张牌的时候已经有52个空位被占据，因此还剩2个选择；放置最后一张牌的时候只剩下一个选择，因此共有54 x 53 x 52 x…x 3 x 2 x 1种排列方式。
我们再看一下所有排列方式中，大小王都在底牌中的排列方式有多少种。首先放置大王，由于底牌只有3张牌，因此大王只有3个选择；然后放置小王，由于小王也必须出现在底牌中，而且大王已经站距离其中一个位置，因此小王只有2个选择。其余52张牌则遵从随机排列的原则，因此共有3 x 2 x 52 x 51 x…x 3 x 2 x 1种排列方式。
我们将两种排列方式的种类相除，就得到了底牌中同时出现大小王的概率为0.21%，因此要想凭借底牌抓到火箭的概率非常非常低。
4. 地主从底牌中补一张王的概率是多少？
这个问题与上一个问题大同小异，我们可以用同样的思路来解决。先考虑底牌只有大王的情况，由于底牌只有3张牌，因此大王有3个选择，而小王不在底牌中，因此小王有51个选择，其余53张牌随机排列，因此底牌只补到大王有3 x 51 x 52 x 51 x…x 3 x 2 x 1种排列方式。再考虑底牌只有小王的情况，底牌只有小王与底牌只有大王是完全相同的，因此底牌中出现一张王共有2 x 3 x 51 x 52 x 51 x…x 3 x 2 x 1种排列方式。
我们已知所有的排列方式有54 x 53 x 52 x…x 3 x 2 x 1种，将两者相除可以得到底牌出现一张王的概率为10.69%，可见不要轻易指望凭借底牌翻身。
5. 地主抓牌连续抓到两张王的概率是多少？
所谓连续抓到两张王是指在连续的两手牌中分别抓到大王和小王，比如第4手抓到大王第5手抓到小王，这通常是抓牌中最兴奋的时刻，但是这种时刻确实是非常罕见的，所以一旦遇到，就请珍惜吧。
首先看一下大小王有多少种排列方式，还是通过占空位的方法来计算，第一张王有54种选择，第二张王有53中选择，因此大小王在洗完牌后有54 x 53种排列方式。地主要想连续抓到大小王，大小王所在位置只能出现在类似（1,4），（4,7），（7,10）…（46，49）这种位置对中，这种复合要求的位置对一共有16对，在每一对中，大小王可以颠倒顺序，比如在（1,4）位置对中，可以是1代表大王4代表小王，也可以是1代表小王4代表大王，因此连续抓到大小王有16*2种排列方式。
我们将两种排列方式的种类相除，就得到了地主连续抓到大小王的概率为1.12%，也就是说90把牌中才能有一次连续抓到大小王。
通过以上对五种牌局情况进行分析，我们发现一个小小的斗地主游戏就包含了这么多概率的知识，而且还有很多很多种牌局也可以通过概率进行分析，所以了解一些概率方面的知识对于提高牌技还有很有帮助的。

战巡

回复 21# 不问旧梦


这篇明显错漏百出，也不知道这作者干什么吃的

1、地主已知自己手里20张没有王，外面存在王炸的概率：
\[\frac{2C^2_2C^{15}_{32}}{C^{17}_{34}}=\frac{16}{33}\approx 48.5\%\]

2、地主已知自己手里20张没有K，存在K炸的概率
\[\frac{2C^4_4C^{13}_{30}}{C^{17}_{34}}=\frac{35}{341}\approx 10.3\%\]

3、我完全特喵的不知道原文在干什么
这里应该分两种情况
（1）地主已知起手17张没有王，两王全在底牌的概率：
\[\frac{C^2_2C^1_{35}}{C^3_{37}}=\frac{1}{222}\approx 0.45\%\]
（2）地主已知手里有一张王，另一张王在底牌的概率：
\[\frac{C^1_1C^2_{36}}{C^3_{37}}=\frac{3}{37}\approx 8.1\%\]
如果是站在旁观者的角度，即谁的牌也不知道，那么按照全概率公式可以算出
\[P=P(底两王|地主没王)P(地主没王)+P(底一王|地主一王)P(地主一王)=\frac{1}{222}·\frac{C^{17}_{52}}{C^{17}_{54}}+\frac{3}{37}·\frac{C^1_2C^{16}_{52}}{C^{17}_{54}}=\frac{2}{53}\approx 3.8\%\]

4、原文请忽略
地主手里有一张王的情况前面说过了，这里只考虑地主手里没有王，底牌有一张王的情况
\[\frac{C^1_2C^2_{36}}{C^3_{37}}=\frac{6}{37}\approx 16.2\%\]

不问旧梦

2.10小概率事件
在日常生活中，存在着各种小概率事件，例如我们真的有幸中了超级大乐透的特等奖，当这些看似巧合的小概率事件发生时，往往伴随着各式各样的惊喜，那么我们就看一看周边还存在着哪些其它的小概率事件。
分析：
场景一：摇号买车
现阶段在北京购买机动车需要参加摇号，只有摇号中签才能取得购买机动车的资格。据统计，现在摇号池里已经有超过两百万人，而每次只有两万人有幸摇中，所以经常会看到摇号当日摇中的亲朋好友在社交网络上晒出自己中签的喜讯，而没摇中的人羡慕之余只能黯然神伤，感慨自己运气太差。

就某一次摇号结果而言，中签就可以称作一次小概率事件，毕竟只有1%的参与者被摇中。但当我们把整个摇号历史过程贯通在一起来看的话，中签概率似乎比预计的要好一些。比如一个人摇了三年终于中签了，那么可以说这个人运气非常好么？
我们用逆向思维来解释这个概率问题，也就是说我们先计算一下三年始终没有中签的概率。假设每个月都有一次摇号机会，并且摇中比例始终保持恒定，三年一共会产生36次摇号事件，对于每一次摇号，未中签的概率为99%，因此连续三年没有摇中意味着连续36次未中签，因此概率为
$$P=0.99^{36}=0.6964$$
        通过计算结果我们可以看到，连续三年未中签的概率大约为70%，因此那个摇了三年终于中签的幸运儿属于另外的30%的行列。根据这个结果来看，三年中签也不能算特别幸运，毕竟几乎三个人里面就会有一个人在三年之内中签，比例也不算特别低。表2-16中罗列出了几个摇号次数与其对应的中签几率和未中签几率，供大家参考。
表2-16 摇号次数与中签几率和未中签几率


通过表2-16中可以看出，如果一年之内就摇中的话确实比较幸运，因为十个人里面才能有一个人能这么快摇中；如果五年摇中的话，基本上就很正常了，毕竟这时候已经有几乎一半的人已经摇中了；如果连续摇了十年还没摇中的话，那就请继续坚持吧，毕竟还有三成的人和你一直十年如一日的坚守着……
场景二：坠机事故
坠机是一件非常可怕的事情，我们有时会在报纸上看到某某航空公司的航班发生坠机事故，机上乘客和机组人员全部遇难，骇人听闻！但是有人又将飞机称作最安全的交通工具，因为与其他交通工具比起来，飞机发生事故的概率最低。根据不完全统计，飞机发生重大事故的概率大约为一百万分之一，的确算得上名副其实的小概率事件了。

一百万是一个什么概念呢？就是如果每天都坐一次飞机，需要大约三千年才能做够一百万次。但我们显然不能通过这种简单的算术说明需要三千年才能赶上一次飞机事故，这样说是非常不严谨的，而要通过概率阐述飞机的安全性。
假设一个人一生中每周都要坐一次飞机，按照平均寿命八十年计算，通过简单计算可以知道这个人一生要乘坐4160次飞机，这个数字相对于普通人来说已经是非常高了，我们下面就来计算一下这个人一生平安飞行的概率。
$$P=0.999999^{4160}=0.9958$$
通过计算结果我们可以看到，即便每周都要做飞机，连续乘坐八十年的情况下，仍然有相当高的概率始终不会发生飞机事故，所以说乘坐飞机还是很安全的。对于一般人来说，恐怕只有在长途旅行和偶尔出差的时候会乘坐飞机，因此一生中乘飞机的次数要少得多，即便平均每个月都会乘坐一次飞机，同样按照乘坐八十年进行对照，一共需要乘坐960次飞机，我们再看一下概率。
$$P=0.999999^{960}=0.9990$$
计算结果告诉我们，普通人即便乘坐进千次飞机，发生事故的概率也只有千分之一。人们之所以对乘坐飞机有所担心，主要是因为飞机一旦发生事故，存活的可能性很小，因此有人宁愿选择速度更慢的火车或者其他交通工具。
场景三：老爷式出租车
最近北京街面上出现了一种类似于老爷车的出租车，跟普通出租车比起来明显更加“高大上”，空间更宽敞，座位更舒适，空调更给力，据说全北京才有三十辆。有一次和同学一起打车，碰巧打上一辆老爷车。

我们路上跟司机攀谈起来，便问司机为什么您能开这高级出租车，大多数的哥的姐就没这福气呢，怎么选上您的啊。司机一听顿时自豪感油然而生，骄傲的告诉我们，因为他驾驶出租车二十多年没出过一次交通事故，多不容易啊，所以被选中了。我同学一听觉得挺纳闷，不出交通事故不是很正常么，坚持二十多年很稀奇么？
我们假设出租车司机每次出车发生交通事故的概率为千分之一，单看这个概率显然也是小概率事件，再看看一年无事故的概率是多少。还是通过逆向思维分析这个问题，很容易能得到每次出车安全驾驶未发生交通事故的概率为99.9%，那么连续行驶一年也就是出车365次安全无事故的概率为
$$P=0.999^{365}=0.6941$$
        结果有点出人意料吧，一年内居然会有三成的司机或大或小会发生交通事故，可见安全行驶一次容易，一直保持安全行驶就不那么容易了，那安全行驶二十多年究竟有多不容易呢，我们赶紧算一下概率。
$$P=0.999^{8000}=0.0003341$$
我们一看到小数点前后有这么多零就知道这个概率非常非常低了，具体来说就是一万名司机当中只有不到四个人能做到连续二十多年始终安全行驶，可谓凤毛麟角。整个北京大约有七万辆出租车，只有三十辆这种老爷车似的出租车，这个比例跟咱们计算出的概率基本吻合，所以说那名司机确实应该为自己骄傲。
如果我们善于观察，就会在生活的点滴中发现许多这样的小概率事件，我们不妨拿起笔算一算它们的概率究竟是多少，这样你会对周边的事情认识得更加清晰而透彻。

不问旧梦

2.11疯狂的骰子
打麻将在中国作为一种大众类的娱乐手段广为流行，尤其川渝一带更是有飞机上可闻麻将声的夸张比喻。在开始对局之前，首先要确定哪一方先做庄家，这时候一般是通过掷骰子比较点数大小的方式来决定的，点数大的一方首先坐庄，这看似简单的掷骰子里面实则也暗藏着概率的知识。

老张、老李、老王、老赵在晚饭后像往常一样聚在了一起打麻将，老张首先掷骰子，结果一下掷出了最大点两个六。旁边老李惊呼一声，一开始运气就这么好啊，这十二分之一的概率都让你一下就给碰上了。这里面老李犯了一个原则性的错误，就是用两个骰子掷出十二点的概率并非十二分之一，那正确的概率是多少呢？
分析：
首先我们分析一下一个骰子的情况。如果只掷一个骰子，那么结果有六种，即1到6，这是显而易见的。由于六种结果的任何一种掷出的概率都相等，因此我们可以得到一个骰子掷出所有点数的概率。
$$P_1=P_2=P_3=P_4=P_5=P_6=\frac16=0.1667$$
        但是两个骰子就没有那么简单了。这里先要明确一点的是，两个骰子的所有点数结果一共有11种，即2到12。其次每一种点数的概率是不同的，我们只需要简要的分析一下就可以明确这个结论。比如掷出12点只有一种方式，也就是骰子A是6点，骰子B是6点，除此之外没有其他组合方式；而掷出8点的方式就很多了，例如骰子A是6点，骰子B是2点，或者骰子A是3点，骰子B是5点，还有其他组合我们暂时不在这里逐一列出，我们想说明的是每种结果的组成种类多少不同，因此概率也不一样。
        那么问题来了，两个骰子一共有多少种组合方式呢？答案是36种。因为骰子A可以有六种选择，骰子B同样可以有六种选择，我们将两个骰子的选择种类相乘，就得到了两个骰子的组合方式。例如12点的组合只有一种方式，因此掷出12点的概率为
$$P_{12}=\frac1{36}=0.0278$$
再看一下8点的所有组合。为了便于说明，在这里我们用（a, b）表示骰子A和骰子B的点数。使用这种表达方式，可以写出所有组合（2, 6）、（3, 5）、（4, 4）、（5, 3）、（6, 2）。通过穷举我们知道组成8点一共有5种方式，需要说明的一点是（2, 6）和（6, 2）是两种不同的组合方式，前者代表骰子A是2点而骰子B是6点，后者代表骰子A是6点骰子B是2点，因此我们得到掷出8点的概率为
$$P_8=\frac5{36}=0.1389$$
可见掷出12点的概率和掷出8点的概率是不同的。模仿上面计算掷出8点概率的方式，我们计算出掷出2到12点各种结果的概率。
表2-17 掷出2到12点各种结果的概率


通过观察表2-17中的结果我们不难发现一个有趣的现象，所有的概率是对称出现的，例如掷出11点的概率等于掷出3点的概率，掷出5点的概率等于掷出9点的概率。还有一个现象是位于表两端的概率最低，也就是掷出2点和掷出12点的概率最低，越向中间靠拢概率越高，处于中间的概率达到最高值，也就是掷出7点的概率最高。从表中列出的所有组合方式解释了这两个现象的原因。

不问旧梦

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力工

这书已出第二版（杨峰 吴波 / 清华大学出版社 / 2023-08 / 其他 / 79.80）,不知道战神指出的问题是不是删了改了。

hbghlyj

战巡 发表于 2015-11-4 15:48
最基础的《概率论与数理统计》就行了，只需要高数基础就能看懂

下面是一些链接：

• 概率论与数理统计(浙大第四版).pdf
• 《概率论与数理统计》浙大版（第四版）教材.pdf
• 概率论与数理统计 盛骤 第四版 浙江大学 .pdf
• 概率论与数理统计(1980—1984).pdf
• 概率论与数理统计(浙大 四版）.pdf
• 概率论与数理统计习题与解答.pdf
• 概率论与数理统计第四版-课后习题答案_盛骤__浙.pdf
  

郝酒

战巡 发表于 2015-11-18 14:30
回复 21# 不问旧梦

战版能不能推荐些好的数学科普?

Canhuang

郝酒 发表于 2024-12-10 10:25
战版能不能推荐些好的数学科普?

中科大的数林外传系列

kuing

为节约资源，我将若干楼层中的一些公式图片码成了 LaTeX（复杂的用 OCR，简单的手打）

节省了几十个图片。（那些表格 OCR 似乎也识别不好，就不管了……