证明是 $C^{\infty}$ 函数

hjnk900

函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 定义为：
$$f(x)=\begin{cases}
e^{-\frac{1}{(x-1)^2}}\cdot e^{-\frac{1}{(x+1)^2}} & x \in(-1,1) \\
0 & x\notin (-1,1)\end{cases}$$
若 $a\in \mathbb R^n$，定义函数 $h:\mathbb R^n \to \mathbb R$:
$$h(x)=f(\epsilon^{-1}(x^{1}-a^{1}))\cdot...\cdot f(\epsilon^{-1}(x^{n}-a^{n}))$$
证明 $h$ 是一个 $C^{\infty}$ 函数，i.e.在 $(a^{1}-\epsilon,a^{1}+\epsilon) \times ...\times (a^{n}-\epsilon,a^{n}+\epsilon)$ 上为正，在其余处为 0.

hjnk900

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跟这道题相关的，还有一个小问也是做不出...

令 $ \epsilon>0 $. 证明存在函数 $ g: \mathbb R\to [0,1] $ 满足:
当 $ x≤0 $ 时, $ g(x)=0 $,
当 $ 0<x<\epsilon $ 时, $ g(x)\in(0,1) $,
当 $ x≥\epsilon $ 时, $ g(x)=1 $.

提示说考虑: \[ g(x)=\frac{\int_0^xf(y)\rmd y}{\int_0^\epsilon f(y)\rmd y} \]
这里的函数 $ f $ 满足在 $(0,\epsilon)$上为正，在其余处为0.

我尝试了写出了一个貌似满足条件的f函数：$e^\frac{-1}{(x-\epsilon)^2}e^\frac{-1}{x^2}$, 可是还是解不出，求帮忙！

hbghlyj

hjnk900 发表于 2015-11-18 04:19
跟这道题相关的，还有一个小问也是做不出...

令 $ \epsilon>0 $. 证明存在函数 $ g: \mathbb R\to [0,1] $ 满足:
当 $ x≤0 $ 时, $ g(x)=0 $,
当 $ 0<x<\epsilon $ 时, $ g(x)\in(0,1) $,
当 $ x≥\epsilon $ 时, $ g(x)=1 $.

见Smooth transition functions
The function\[g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,\]has a strictly positive denominator everywhere on the real line, hence $g$ is also smooth. Furthermore, $g(x) = 0$ for $x ≤ 0$ and $g(x) = 1$ for $x ≥ 1$, hence it provides a smooth transition from the level $0$ to the level $1$ in the unit interval $[0, 1]$.

Mathematica

1. f[x_] := If[x <= 0, 0, Exp[-1/x]]
2. Plot[f[x]/(f[x] + f[1 - x]), {x, -1/2, 3/2}]

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