直线与圆

guanmo1

图中这道题是不是只能这么解？取这三条特殊直线后，得到的圆为什么刚好满足对任意m，均与直线相切，有深刻原因吗？

kuing

考虑 $l$ 到点 $(x_0,y_0)$ 的距离
\[d=\frac{\abs{2mx_0+(1-m^2)y_0-4m-4}}{\sqrt{4m^2+(1-m^2)^2}}
=\frac{\abs{-y_0m^2+(2x_0-4)m+y_0-4}}{1+m^2},\]
那么当 $2x_0-4=0$ 且 $-y_0=y_0-4$，即 $x_0=y_0=2$ 时 $d$ 恒为 $2$，所以定圆为 $(x-2)^2+(y-2)^2=4$。

kuing

当然，更一般的方法是用求包络线的那套方法……就不扯了……

guanmo1

回复 3# kuing

谢谢，我代入点到直线方程后，觉得繁就没看了。还是得耐心些。

战巡

回复 1# guanmo1

包络线方便多了嘛
\[\begin{cases} 2mx+(1-m^2)y-4m-4=0 \\ \frac{\partial}{\partial m}(2mx+(1-m^2)y-4m-4)=0\end{cases}\]
第二个解得
\[m=\frac{x-2}{y}\]
带入第一个得到
\[\frac{(x-2)^2-4+(y-2)^2}{y}=0\]

kuing

回复 5# 战巡


PS. 你啥时候改下“带入”……

isee

回复  guanmo1

包络线方便多了嘛
\[\begin{cases} 2mx+(1-m^2)y-4m-4=0 \\ \frac{\partial}{\partial m}( ...
战巡 发表于 2015-11-18 03:30

    还是第一见从“量”上解决包络线。找资料学习去……

isee

回复  guanmo1

包络线方便多了嘛
\[\begin{cases} 2mx+(1-m^2)y-4m-4=0 \\ \frac{\partial}{\partial m}( ...
战巡 发表于 2015-11-18 03:30

代回后，我觉得是 $-(x-2)^2$与$y^2$啊，化成不楼上的答案。。。

方便 来算下，奇怪了，怎么都算不对了。。。。

kuing

回复 8# isee

检查多三遍

isee

回复 9# kuing


    ，今天估计是查不出来了，明天吧。。

isee

哈哈，，，，，，的确是我算错了，，，，我也知道一定是我算错了，，，，

不过，巧的是，另外的两个人，也错了，正好错得和我一样儿一样儿，，，，


所以，我晕了。。。

这太是
巧合
了