偏导数

hjnk900

令  $ f: \mathbb R^2\to \mathbb R $，假设 $ f $ 的二阶偏导数存在，并且在 $ A\subset\mathbb R^2 $ 上连续.
1）令 $ a\in A $, 证明 \[ D_{1,2}f(a)=D_{2,1}f(a) \]
2）将结论推广到 $ f: \mathbb R^n\to \mathbb R $

战巡

回复 1# hjnk900


拜托你别在把偏导符号打成D了，\partial $\to \partial$
还有这不是个基础问题么？自己去看数分教材绝对有讲

\[\frac{\partial^2f(a_1,a_2)}{\partial a_1\partial a_2}=\frac{\partial}{\partial a_2}\lim_{\Delta a_1\to 0}\frac{f(a_1+\Delta a_1,a_2)-f(a_1,a_2)}{\Delta a_1}\]
\[=\lim_{\Delta a_2\to 0}\lim_{\Delta a_1\to 0}\frac{\frac{f(a_1+\Delta a_1,a_2+\Delta a_2)-f(a_1,a_2+\Delta a_2)}{\Delta a_1}-\frac{f(a_1+\Delta a_1,a_2)-f(a_1,a_2)}{\Delta a_1}}{\Delta a_2}\]
\[=\lim_{\Delta a_2\to 0}\lim_{\Delta a_1\to 0}\frac{f(a_1+\Delta a_1,a_2+\Delta a_2)-f(a_1,a_2+\Delta a_2)-f(a_1+\Delta a_1,a_2)+f(a_1,a_2)}{\Delta a_1\Delta a_2}\]
同理可证
\[\frac{\partial^2f(a_1,a_2)}{\partial a_2\partial a_1}=\lim_{\Delta a_2\to 0}\lim_{\Delta a_1\to 0}\frac{f(a_1+\Delta a_1,a_2+\Delta a_2)-f(a_1,a_2+\Delta a_2)-f(a_1+\Delta a_1,a_2)+f(a_1,a_2)}{\Delta a_1\Delta a_2}\]

第二问以此类推

hjnk900

回复 2# 战巡

首先感谢战巡大哥的回复！

我写的D是表示微分算子.  我又网上搜索了下，发现这道题1)原来是Schwarz定理的内容. 网上搜索了下证明，跟你的方法类似！可是用这种方法推广到n维的话会不会比较麻烦... 请问你有没有其他方法可以证明？网上有人提示说可以利用Fubini's定理，可是我还是没有头绪.