请教一道数列题

史嘉

已知数列a1=1，且a(2k)=a（2k-1）+(-1)^k,    a(2k+1)=a（2k）+3^k,
其中 k=1,2,3.。。。。。
求an
谢谢！

史嘉

$a_{2k}=a_{2k-1}+(-1)^k$
$a_{2k+1}=a_{2k}+3^k$

kuing

$a_{2k+1}=a_{2k}+3^k=a_{2k-1}+(-1)^k+3^k$
求和就好了吧，奇数项有了自然偶数项也有了

史嘉

回复 3# kuing


    还需要讨论奇偶吧。
谢谢！

kuing

回复 4# 史嘉
\begin{align*}
a_{2k+1}&=a_{2k-1}+(-1)^k+3^k,\\
a_{2k-1}&=a_{2k-3}+(-1)^{k-1}+3^{k-1},\\
\cdots&\cdots\\
a_3&=a_1+(-1)^1+3^1,
\end{align*}
求和即得
\[a_{2k+1}=a_1+\frac{(-1)\bigl(1-(-1)^k\bigr)}{1-(-1)}+\frac{3(1-3^k)}{1-3}=-1+\frac{(-1)^k+3^{k+1}}2,\]
故
\[a_{2k}=a_{2k-1}+(-1)^k =-1+\frac{(-1)^{k-1}+3^k}2+(-1)^k.\]

其妙

回复 5# kuing
$a_{2k}$的表达式中的$(-1)^k$和$(-1)^{k-1}$可以合并，

kuing

回复 6# 其妙

嗯，我懒了。
还可以统一写成一条式，不过还是懒了。

其妙

回复 7# kuing
，统一起来本题麻烦了些，未统一之前就有很多$(-1)^k$了统一后就更多了$(-1)^n$、$(-1)^{\frac{n}2}$，$(-1)^{\frac{n-1}2}$，$(-1)^{\frac{n+1}2}$、$3^{\frac{n}2}$，等等了。总之，是可以统一的。

史嘉

谢谢两位！
我以被4除分成四段表示的。