一个数列和不等式

血狼王

求证：对一切正整数$n$均有
$$\sum_{k=2}^{n} \frac{\ln^2 k}{k^2}<2-\frac{\ln^2 n}{n}.$$

战巡

回复 1# 血狼王

易证当$k\ge 3$时有$\frac{\ln^2(k)}{k^2}$递减
于是
\[\sum_{k=2}^n\frac{\ln^2(k)}{k^2}<\frac{\ln^2(2)}{4}+\int_3^n\frac{\ln^2(x)}{x^2}dx=\frac{\ln^2(2)}{4}+\frac{2+\ln^2(3)+\ln(9)}{3}-\frac{2+2\ln(n)+\ln^2(n)}{n}\]
这个明显严格多了

血狼王

回复 2# 战巡

按你这么说，似乎因为$\frac{\ln^2(k)}{k^2}$当$k\geq 3$时递减，就有了
$$\frac{\ln^2(k)}{k^2}<\int_k^{k+1}\frac{\ln^2(x)}{x^2}dx$$
这明显是……

色k

递减的话是 $f(k)<\int_{k-1}^k f(x)\rmd x$，所以2楼那里应该是从 k=4 开始放缩的，由此还发现2楼右边漏了 k=3 这一项。