来自人教群的2010元不等式

kuing

赣B爱好者远远(1530*****) 18:38:22

求证明

将变量个数 $n$ 化，令 $2010=n$，再换个元，令 $a_i=x_i^{n-1}$，则问题化为：设 $a_i\inR^+$, ($i=1$, $2$, \ldots, $n$) 且 $a_1+a_2+\cdots+a_n=1$，求下式的最小值
\[\sum_{i=1}^n \frac{a_i^{(n-2)/(n-1)}}{1-a_i}.\]

由均值，有
\[(n-1)a_i(1-a_i)^{n-1}\leqslant \left( \frac{(n-1)a_i+(n-1)(1-a_i)}n \right)^n=\left( \frac{n-1}n \right)^n,\]
得到
\[a_i^{1/(n-1)}(1-a_i)\leqslant \frac{n-1}{n^{n/(n-1)}},\]
所以
\[\frac{a_i^{(n-2)/(n-1)}}{1-a_i}=\frac{a_i}{a_i^{1/(n-1)}(1-a_i)}\geqslant \frac{n^{n/(n-1)}}{n-1}a_i,\]
求和即得
\[\sum_{i=1}^n \frac{a_i^{(n-2)/(n-1)}}{1-a_i}\geqslant \frac{n^{n/(n-1)}}{n-1},\]
当 $a_1=a_2=\cdots=a_n=1/n$ 时取等号，所以上式右边就是最小值，

郝酒

谢谢ku版，我说的那个错误思路弱爆了。