一道绝对值不等式问题

敬畏数学

设实数a使得不等式|2x−a|+|3x−2a|≥a^2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是______?

kuing

设 $f(x)=\abs{2x-a}+\abs{3x-2a}$，无论 $a$ 为何值，$f(x)$ 都是开口向上的折线，其最小值必在折线的折点处取得，即
\[f(x)_{\min}=\min\left\{f\left(\frac a2\right),f\left(\frac{2a}3\right)\right\}
=\min\left\{\frac12\abs a,\frac13\abs a\right\}=\frac13\abs a,\]
所以问题等价于
\[\frac13\abs a\geqslant a^2 \iff \frac13\geqslant \abs a \iff a\in\left[-\frac13,\frac13\right].\]

kuing

如果不喜欢扯上折线什么的，第一步也可以改用放缩+绝对值不等式
\[\abs{2x-a}+\abs{3x-2a}
\geqslant \abs{2x-a}+\frac23\abs{3x-2a}
\geqslant \left|2x-a-\frac23(3x-2a)\right|
=\frac13\abs a,\]
当 $x=2a/3$ 时取等，下同。

敬畏数学

OK!以上两种方法都非常棒！

游客

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回复 5# 游客
嗯。对。。。。。