求一个积分收敛，但平方后积分发散的函数。

abababa

$D$是平面上的一个无界闭区域，且对任意的$R > 0$，区域$D \cap \{(x,y) \mid x^2+y^2 \le R^2\}$都是可求面积的闭区域，求一个定义在平面上的连续函数$f(x,y)$，使得$\int_{D}f(x,y)dxdy$收敛，但是$\int_{D}f^2(x,y)dxdy$发散。

战巡

回复 1# abababa

这个还不简单..
在无穷远处收敛的肯定无穷远处接近$0$，再一平方更加接近$0$，肯定没戏，你只能去找瑕积分

我随便给你个例子
\[g(x)=\frac{1}{(1+x)\sqrt{x}}\]
有
\[\int_0^{+\infty}g(x)dx=2\arctan(\sqrt{x})|^{+\infty}_0=\pi<+\infty\]
\[\int_0^{+\infty}g(x)^2dx=(\frac{1}{x+1}-\ln(1+\frac{1}{x}))|^{+\infty}_0=+\infty\]
而你需要的二元函数只需要
\[f(x,y)=g(x)g(y)\]
即可，这玩意就会在$D=[0,+\infty]\times[0,+\infty]$上满足条件

abababa

回复 2# 战巡
谢谢。我觉得这里的区域$D$指的是任意一个有界闭区域，不一定是特定的$[0,\infty]\times[0,\infty]$。我开始的想法是弄一个函数，让它在$D'=[0,1]\times[0,1]$里（或者其它如单位圆里）定义成一个函数，在其它地方都定义成$0$，然后再找一个函数和它相乘，这样积分时就只限定在$D'$里了。
二楼这里的如果把$g(x)$在负半轴都定义成$0$，也可以满足对任意的$D$都成立，但是不能在点$(0,0)$处连续。