初中难题

游客

回复 39# kuing


   是的，把OB2对称到OA旁边，OA成为角平分线，这样就是看Y=X的下方，双曲线上的点到原点的距离的增速越来越快的意思。证明应该也不难。

isee

回复 25# kuing


原来有细致的研究.

isee

今天又刷到(源自知乎提问)了，也是以"积"为主.
但所部方向有点不同


将“显然”改说为“猜测”更好.

PS：以下证明与 予一人 及评论区的 寨森Lambda-CDM 本质完全相同，只是以下出发点是解析角度.

设 $A(x_1,y_1),\ B(x_2,y_2)$ 则 $x_1y_1=x_2y_2=\sqrt 3,$ 在 $\triangle OAB$ 中由余弦定理有

\begin{align*} AB^2&=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos 30^\circ\\[1em] (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2&=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-\sqrt 3 OA\cdot OB\\[1em] \sqrt 3 OA\cdot OB&=2(x_1x_2+y_1y_2)\\[1em] &\geqslant 4\sqrt {x_1y_1x_2y_2}=4\sqrt 3\\[1em] \Rightarrow \quad OA\cdot OB&\geqslant 4, \end{align*}

另一方面

\begin{align*} AB^2&=OA^2+OB^2-\sqrt 3OA\cdot OB\\[1em] &\geqslant 2OA\cdot OB-\sqrt 3OA\cdot OB\\[1em] &=(2-\sqrt 3）OA\cdot OB\\[1em] &\geqslant 8-4\sqrt 3\\[1em] &=(\sqrt 6-\sqrt 2)^2, \end{align*}

同时取"="时， $OA=OB,\ x_1x_2=y_1y_2,$ 即 $x_1=y_2,\ x_2=y_1$ 亦即 $A,\ B$ 两点关于 $y=x$ 对称，证实猜想.