初中难题

APPSYZY

能否推广到双曲线的一般情况？(以及椭圆、抛物线)

游客

1、这个题初中能做？怎么做？
2、“推广”是什么意思？O是双曲线中心，抛物线连对称中心都没有。

APPSYZY

回复 2# 游客
的确是2014年中考模拟卷的选择题，不知出题人的意图是什么，学生一般会猜线段在对称时最短，但是证明起来却不简单

APPSYZY

求助。。。。。。

kuing

这题放到高中估计也很多人证不出来……

kuing

设 $A$, $B$ 两点的横坐标为 $a$, $b$，则两射线斜率为 $k_{OA}=\sqrt3/a^2$, $k_{OB}=\sqrt3/b^2$，于是由夹角为 $30\du$ 得
\begin{align*}
\frac{k_{OB}-k_{OA}}{1+k_{OA}k_{OB}}=\tan30\du=\frac{\sqrt3}3
&\iff3(a^2-b^2)=a^2b^2+3\\
&\iff3\left( \frac ab-\frac ba \right)=ab+\frac3{ab}, \quad(*)
\end{align*}
于是
\begin{align*}
AB^2&=(a-b)^2+\left( \frac{\sqrt3}a-\frac{\sqrt3}b \right)^2\\
&=(a-b)^2\left( 1+\frac3{a^2b^2} \right)\\
&=\left( \frac ab+\frac ba-2 \right)\left( ab+\frac3{ab} \right)\\
&=3\left( \sqrt{\left( \frac ab-\frac ba \right)^2+4}-2 \right)\left( \frac ab-\frac ba \right),
\end{align*}
令 $v=a/b-b/a$，由式 (*) 知 $v\geqslant 2/\sqrt3$，则
\[AB^2=3\bigl( \sqrt{v^2+4}-2 \bigr)v=f(v),\]
求导得\(\require{cancel}\)
\[\bcancel{
f'(v)=\frac{6\bigl( v^2+2-\sqrt{v^2+4} \bigr)}{\sqrt{v^2+4}}
=\frac{6(v^4+3v^2)}{\sqrt{v^2+4}\bigl( v^2+2+\sqrt{v^2+4} \bigr)}>0,
}\]
因为 $\sqrt{v^2+4}-2$ 恒正且递增，所以 $f(v)$ 递增，从而
\[f(v)\geqslant f\left( \frac2{\sqrt3} \right)=8-4\sqrt3=\bigl( \sqrt6-\sqrt2 \bigr)^2,\]
所以 $AB\geqslant \sqrt6-\sqrt2$，当 $a=\sqrt3$, $b=1$ 时取等，所以最小值就是 $\sqrt6-\sqrt2$。

isee

回复 6# kuing


    你都动用导数了，，，，，，说明常规运算不是命题人的方向。。。我只是猜咯。。

zhcosin

这题放在初中吧，我猜是让学生猜答案的，上极坐标吧，由直线方程 $\theta=\alpha$ 与双曲线方程 $r^2 \sin 2 \theta=$ $2 \sqrt{3}$ 联立得点 $A\left(\sqrt{\frac{2 \sqrt{3}}{\sin 2 \alpha}}, \alpha\right)$ 和 $B\left(\sqrt{\frac{2 \sqrt{3}}{\sin 2\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)}}, \alpha+\frac{\pi}{6}\right)$ ，因此由余弦定理和二元均值不等式得
\[
\begin{aligned}
d^2 & =\frac{2 \sqrt{3}}{\sin 2 \alpha}+\frac{2 \sqrt{3}}{\sin 2\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)}-\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{\sin 2 \alpha \sin 2\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)}} \cos \frac{\pi}{6} \\
& \geqslant \frac{4 \sqrt{3}-3}{\sqrt{\sin 2 \alpha \sin 2\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)}} \geqslant \frac{2(4 \sqrt{3}-3)}{\sin 2 \alpha+\sin 2\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)} \\
& =\frac{2(4 \sqrt{3}-3)}{2 \sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{6}\right) \cos \frac{\pi}{6}} \geqslant \frac{4(4-\sqrt{3})}{2 \sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{6}\right)} \geqslant 2(4-\sqrt{3})=2(\sqrt{3}-1)^2
\end{aligned}
\]
以上所有等号都只有在 $\alpha=\frac{\pi}{6}$ 时妈得，即 $\angle A O B$ 的平分线正好也是第一象限的平分线，答案选D．

kuing

回复 8# zhcosin

五笔党

zhcosin

回复 9# kuing
话说你那个单调性，似乎可以目测啊，两个正的增函数相乘，都不用求导了。。。

kuing

回复 10# zhcosin

噢对呵，俺笨死鸟

zhcosin

聪明一世，糊涂一时哎

kuing

已将求导划掉[得意]

APPSYZY

回复 6# kuing
谢谢k神！

APPSYZY

回复 8# zhcosin
谢谢zhcosin出手！！

kuing

回复 8# zhcosin

仔细看了下，$d^2=$ 右边的第三项分子应为 $4\sqrt3$ 吧，然而最终结果又没错？

后面也可以简单些，直接积化和差
\[\sin 2\alpha \sin 2(\alpha +30\du)=\frac {\cos 60\du-\cos (4\alpha +60\du)}2\leqslant\frac{\frac12+1}2= \frac 34,\]
当 $\alpha=30\du$ 取等。

isee

如图，由于$\angle AOB$为定值，$AB$最小等价于三角形$AOB$的外接圆$D$半径$r$最小.



取$AB$中点$E$，连接$OE$，$ED$，则$$r+\frac{\sqrt 3r}2=OD+DE\geqslant OE.$$

当点$D$落在$OE$上时，$r_{\min}=?$.（不想算）

kuing

回复 17# isee

但是 OE 并不是定值，不能由此说明 D 在 OE 上时 r 最小啊

isee

回复 18# kuing

我也看到了。其实转化成E的轨迹了，应该也是对称的，有瑕疵。

isee

回复  isee

但是 OE 并不是定值，不能由此说明 D 在 OE 上时 r 最小啊
kuing 发表于 2017-12-20 00:02

如果能说明E的轨迹也是关于$y=x$对称的，最好是双曲线，则勉强可行。