收敛函数保号性定理的推广

大一新生

闲着无聊，把书上的定理及其推论推广了一下...

大一新生

①收敛数列保号性定理的推广：如果$\lim\limits_{n\to \infty}x_n=a$，且$a>m($或$a<m)$，那么存在正整数$N$，当$n>N$时，都有$x_n>m($或$x_n<m)$.
②推论：如果数列$\{x_n\}$从某项起有$x_n\ge m($或$x_n\le m)$，且$\lim\limits_{n\to \infty}x_n=a$，那么$a\ge m($或$a\le m)$.

大一新生

①的证明：
由$\lim\limits_{n\to \infty}x_n=a$得到$\forall\varepsilon>0,\exists N\inN_+,$当$n>N$时$,|x_n-a|<\varepsilon$即$a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon.$
令\begin{cases}f(\varepsilon)=a-\varepsilon\\g(\varepsilon)=a+\varepsilon\end{cases}
当$a>m$时$,x_n\ge\sup(f(\varepsilon))=a>m,$即$x_n>m;$
当$a<m$时$,x_n\le\inf(g(\varepsilon))=a<m,$即$x_n<m;$

大一新生

②的证明：
根据条件可得$\forall\varepsilon>0,\exists N_1\inN_+,$当$n\ge N_1$时$,x_n\ge m($或$x_n\le m),$且$\exists N_2\inN_+,$当$n\ge N_2$时$,|x_n-a|<\varepsilon,$
取$N=\max\{N_1,N_2\},$当$n>N$时$,x_n\ge m($或$x_n\le m),$且$|x_n-a|<\varepsilon$即$x_n-\varepsilon<a<x_n+\varepsilon.$
令\begin{cases}f(\varepsilon)=x_n-\varepsilon\\g(\varepsilon)=x_n+\varepsilon\end{cases}
则$a\ge\sup(f(\varepsilon))=x_n\ge m,$即$a\ge m.$
$($则$a\le\inf(g(\varepsilon))=x_n\le m,$即$a\le m.$$)$