收敛函数保号性定理的推广

大一新生

闲着无聊，把书上的定理及其推论推广了一下...

定理 3 （收敛数列的保号性）如果 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，且 $a>0$（或 $a<0$ ），那么存在正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时，都有 $x_n>0$（或 $x_n<0$ ）．

证 就 $a>0$ 的情形证明．由数列极限的定义，对 $\varepsilon=\frac{a}{2}>0$，$\exists$ 正整数 $N$，当 $n>N$时，有
\[
\left|x_n-a\right|<\frac{a}{2},
\]
从而
\[
x_n>a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}>0 .
\]
推论 如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 从某项起有 $x_n \geqslant 0$（或 $x_n \leqslant 0$ ），且 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，那么 $a \geqslant 0$ （或 $a \leqslant 0$ ）．

证 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 从第 $N_1$ 项起，即当 $n>N_1$ 时有 $x_n \geqslant 0$ ．现在用反证法证明．若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a<0$ ，则由定理 3 知，$\exists$ 正整数 $N_2$ ，当 $n>N_2$ 时，有 $x_n<0$ ．取 $N=\max \left\{N_1,N_2\right\}$ ，当 $n>N$ 时，按假定有 $x_n \geqslant 0$ ，按定理 3 有 $x_n<0$ ，这引起矛盾．所以必有 $a \geqslant 0$ ．数列 $\left\{x_n\right\}$ 从某项起有 $x_n \leqslant 0$ 的情形，可以类似地证明．

大一新生

①收敛数列保号性定理的推广：如果$\lim\limits_{n\to \infty}x_n=a$，且$a>m($或$a<m)$，那么存在正整数$N$，当$n>N$时，都有$x_n>m($或$x_n<m)$.
②推论：如果数列$\{x_n\}$从某项起有$x_n\ge m($或$x_n\le m)$，且$\lim\limits_{n\to \infty}x_n=a$，那么$a\ge m($或$a\le m)$.

大一新生

①的证明：
由$\lim\limits_{n\to \infty}x_n=a$得到$\forall\varepsilon>0,\exists N\inN_+,$当$n>N$时$,|x_n-a|<\varepsilon$即$a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon.$
令\begin{cases}f(\varepsilon)=a-\varepsilon\\g(\varepsilon)=a+\varepsilon\end{cases}
当$a>m$时$,x_n\ge\sup(f(\varepsilon))=a>m,$即$x_n>m;$
当$a<m$时$,x_n\le\inf(g(\varepsilon))=a<m,$即$x_n<m;$

大一新生

②的证明：
根据条件可得$\forall\varepsilon>0,\exists N_1\inN_+,$当$n\ge N_1$时$,x_n\ge m($或$x_n\le m),$且$\exists N_2\inN_+,$当$n\ge N_2$时$,|x_n-a|<\varepsilon,$
取$N=\max\{N_1,N_2\},$当$n>N$时$,x_n\ge m($或$x_n\le m),$且$|x_n-a|<\varepsilon$即$x_n-\varepsilon<a<x_n+\varepsilon.$
令\begin{cases}f(\varepsilon)=x_n-\varepsilon\\g(\varepsilon)=x_n+\varepsilon\end{cases}
则$a\ge\sup(f(\varepsilon))=x_n\ge m,$即$a\ge m.$
$($则$a\le\inf(g(\varepsilon))=x_n\le m,$即$a\le m.$$)$