一个群里的竞赛不等式(2a+5b+10c=abc求a+b+c最小)

2009

已知2a+5b+10c=abc(a,b,c>0),则a+b+c的最小值为

应该是竞赛题,以前好象见过

kuing

怎么不查《撸题集》？这是 FAQ 啊，见 P.1021 FAQ 25，只不过系数不太一样而已，撸起来肯定也是那样的撸法

kuing

按照书上的待定系数法（或其他暴li方法或开挂或纯猜）可以得到取等条件为 `(a,b,c)=(5,4,3)`，于是，咱们又可以玩装逼解法了

呐，现在来模仿 P.1024 中的计爷的恒等式，我们有：
\begin{align*}
& 25 \bigl((a + b + c)^2 (2 a + 5 b + 10 c) - 144 a b c\bigr) \\
={} & 50 a (3 b - 4 c)^2 + (2 a + 5 b + 20 c) (4 a - 5 b)^2 + (2 a + 25 b + 10 c) (3 a - 5 c)^2,
\end{align*}
即得
\[a + b + c\geqslant \sqrt{\frac{144abc}{2a+5b+10c}}=12.\]
装逼效果还阔以吧？

2009

回复 3# kuing


    这是怎么配的???

kuing

回复 4# 2009

你猜

isee

回复 4# 2009

又要说，哈哈，这种配方只能看懂，自己配是配不来的，kuing特有招式

kuing

回复  2009

又要说，哈哈，这种配方只能看懂，自己配是配不来的，kuing特有招式 ...
isee 发表于 2018-10-24 14:10

nonono, 不是我的招式，3# 已经说了，那个配方是模仿计爷的……

顺便改一下标题……

其妙

这里记载了此类题的渊源和来龙去脉，相关解题人员（当然包含大名鼎鼎的kuing哥和ji爷啦）以及演变史：《三道同类不等式的解答与历史溯源（2008年吉林省预赛、《数学通报》2012年第2080号问题） 》mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMDYxMDMxOQ==&mid=2247485738& ... 05&lang=zh_CN#rd

kuing

回复 8# 其妙

太长懒得细看，只想说：我是2007年毕业的
另外我在《撸题集》P.1022~1023 对我当时那解法作了些补充，你也不整理进去

其妙

回复 9# kuing
你的鲁题集也太丰富了，导致看了几道题后就没看了，所以并不知道你收录了这道题。

kuing

回复 8# 其妙

计爷那配方至少比他的《代数不等式》里的那些容易破解得多，给链接里第三题也配一个：
\begin{align*}
&4\bigl( (5a+22b+c)^2(a+2b+3c)-48^2abc \bigr)\\
={}&136a(6b-c)^2+(46a+242b+385c)(a-4b)^2+(6a+134b+3c)(3a-2c)^2,
\end{align*}
得
\[5a+22b+c\geqslant48\sqrt{\frac{abc}{a+2b+3c}}\geqslant48.\]

其妙

回复 11# kuing
厉害！反正我是破解不了的！

2009

回复 8# 其妙


    谢谢

游客

感觉就是消元之后只剩a后那一步最难搞，其他还好的。

游客

比如，8楼链接里的一个题如下：

游客

那个计教授的配方是要先知道取最值条件，然后解一个矩阵（一次方程组）吧？

其妙

那个计教授的配方是要先知道取最值条件，然后解一个矩阵（一次方程组）吧？ ...
游客 发表于 2018-12-17 16:57

这个哪里知道呀？虽然多数人怀疑是这样的，你还是去问陈计教授吧

业余的业余

用拉格朗日乘数法试试。令 $x=bc, y=ac, z=ab$

$1=\lambda(2-bc)=\lambda(2-x)$
$1=\lambda(5-ac)=\lambda(5-y)$
$1=\lambda(10-ab)=\lambda(10-z)$
有
$2-x=5-y \Leftrightarrow y=3+x \tag 1$
$2-x=10-z \Leftrightarrow z=8+x \tag 2$

对约束条件，两边同除以 $abc$, 有
$\cfrac 2x+\cfrac 5y+\cfrac {10}z=1 \tag 3$

(1),(2) 代入(3), 有
$\cfrac 2x+\cfrac 5{x+3}+\cfrac {10}{x+8}=1 \tag 4$
显然当 $x>0$ 时，LHS(4)各项单减，总和也必单减，所以方程有唯一的实根。观察易知 $x=12$ 是方程的根， 故 $y=3+x=15, z=8+x=20$,

由 $x=bc=12, y=ac=15, z=ab=20$，知 $a=5,b=4, c=3$ 是方程组的唯一一组正根。由问题性质知，
$f(a,b,c)=a+b+c  \text{  subject to  } 2a+5b+10c=abc$ 在唯一的临界点 (5,4,3) 上取得最小值 $5+4+3=12$.

kuing

刚才减压群里传的密码红包题：

也是一样的玩法：
\begin{align*}
&6(a+b+c)(a^2+3b^2+15c^2)-216abc\\
={}&33a(b-2c)^2+2(a+5b+5c)(3c-a)^2+(a+2b+2c)(2a-3b)^2
\end{align*}